第4章 控制网平差

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1、第4章控制网平差对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法第一节独立三角网条件平差根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。一、典型三角网1.三角锁c1anbnB1ci①②ⓝa1B2b1aibicn共有n+2个点，其中2个为起算点，n个未

2、知点.起算数据：(x1,y1),(x2,y2).观测值：ai,bi,ci，B22.大地四边形共有4个点，其中2个为起算点，2个未知点。起算数据：(xA,yA),(xB,yB)观测值：a1~a4,b1~b4a3b3b2a4a2b4b1a1SABCD3.中点多边形共有n+1个点，其中2个为起算点，n-1个未知点.起算数据：(xA,yA),(xO,yO)观测值：ai,bi,ciAa1①ⓝEBb1c1Oa2c2②cib2ⓘaibiCD二、典型三角网的条件方程1.三角锁c1cianbnB1①②ⓝB2a1b1aibicn——图形条件——基线条件代入条件方程得到改正数表达的条件方程n个图形条件：

3、vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci–180º将其中：δai=ctgai;δbi=ctgbi;ρ”=206265”1个基线条件：Σδaivai–Σδbivbi+wB=02、大地四边形，可以列出7个图形条件，但是只有3个是相互独立的，其余几个可以由这3个方程推导出来：a3b3b2a4a2b4b1a1用改正数表达：va1+vb1+va2+vb2+w1=0;w1=a1+b1+a2+b2–180ºva2+vb2+va3+vb3+w2=0;w2=a2+b2+a3+b3–180ºva3+vb3+va4+vb4+w3=0;w3=a3+b3+a4+b4–180º极条件1个:用改

4、正数表达：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0；其中：δai=ctgai,δbi=ctgbi3、中点多边形在中点多边形中，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件：a1b1c1ciaibi用改正数表达：图形条件n个：vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci–180º(i=1,2,…,n)圆周角条件1个：Σvci+wo=0；wo=Σci-360º极条件1个：Σδaivai–Σδbivbi+ws=0第二节条件平差原理条件方程可以写成矩阵形式：AV+W=0其中，A－为rn阶矩阵，称为系数矩阵；V－为n1列阵，称为改正数向量；W－为r1

5、列阵，称为闭合差向量。条件方程AV+W=0中，有r个方程，n个未知数,且r

6、X为列阵，则(2)设Y、Z均为列阵，则：一、改正数方程令其等于零，注意到(PV)T=VTP，从而有：VTP=KTA转置后左乘P–1得：V=P–1ATK(1)该公式表达了改正数V与联系数K的关系。函数Ф=VTPV－2KT(AV+W)对V求导：二、法方程式将（1）式代入条件方程AV+W=0中得：AP–1ATK+W=0（2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第i个观测值的权为pi,则显然P是一个对角阵，其逆存在，且：三、法方程的解令N=AP–1AT（3）则法方程式的形式为NK+W=0其中N称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量：K=

7、－N–1W（4）四、精度评定公式在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。其中，r为条件方程的个数，[pvv]=VTPV可以根据改正数向量V直接计算1.单位权方差：2.平差值的权倒数我们知道，未知量x的中误差的平方mx2与单位权中误差的平方μ2成正比，与该量的权Px成反比，即：条件平差中，平差值权倒数的计算公式为：因此，对于某个平差值，只要能够确定它的权，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。3.平差值函数的权倒数同样，对于平差值的函数Φ，