李庆扬数值分析——插值法

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1、描述事物之间的数量关系：函数。有两种情况：一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另一种是函数虽然有明显的表达式，但很复杂，不便于研究和使用。从实际需要出发：对于计算结果允许有一定的误差，可以把函数关系用一个简单的便于计算和处理的近似表达式来代替，从而使问题得到简化。一般地，构造某种简单函数代替原来函数。插值法就是一种基本方法§0引言第二章插值（Interpolation）法(1)(2)(2)在x为特殊值时,是好计算的,则(2)可转化为(1)当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…y

2、n=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x)，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。x0x1x2x3x4xg(x)f(x)根据实际需要，可以用各种不同的函数来近似原来的函数。最常用的插值函数是…?多项式：代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运算，且积分和微分都很方便；所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样的插值方法叫做代数插值法，简称插值法。§1拉格朗日多项式niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0

3、,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0+y11.1线性插值两点式)()(0010101xxxxyyyxP---+=点斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff1.2二次插值n=2已知x0,x1,x2;y0,y1,y2,求使得002,)(yxP112)(yxP==222)(yxP=,为求P2(x),将三点代入其表达式,即可得到三个方程式,从而联立方程组解出系数a0,a1,a2即可:方程组的解是否存在?若存在

4、解,是否唯一?!当x0,x1,x2互异时,方程组的解存在且唯一.注：显然有,求n次插值时,由n+1个点可有n+1个方程,联立方程组即可求出插值多项式的n+1个系数.然而,方程组的求解也并不是一件容易的事。1.2.1待定系数法对于线性插值的两种形式解进行适当的分析,从中寻求规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日插值法(公式)和牛顿插值(公式).我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式（和牛顿插值公式（为讨论方便，留待后述））.首先,线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式的一种线性组合.101xxxx--010xxxx--)(1xP=y0+y1

5、==10)(iiiyxl两点式l0(x)l1(x)实质上（）和（）即是满足函数表的一次插值多项式,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插值多项式，也称为线性插值的插值基函数。于是，线性插值即是用基函数的线性组合来构造的.1.2.2基函数法称为拉氏基函数，满足li(xj)=ij显然有l0(x)+l0(x)≡1.这里，l0(x)和l1(x)具有如下性质：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,由此启发，我们希望二次插值也能由一些二次插值基函数来线性组合:这时，l0(x),l1(x),l2(x)都是二

6、次多项式，且应满足满足(2.1)式的li(x)是否存在?若存在，具有什么形式呢?（2.1）同理可得l1(x)＝1(x－x0)(x－x2),l2(x)＝2(x－x0)(x－x1),1＝(x1－x0)(x1－x2)12＝(x2－x0)(x2－x1)1此即二次拉格朗日插值公式,其中,l0(x),l1(x),l2(x)是满足(2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数.P2(x)=y0+y1+y2(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)(x-x0)(x-x1)(x2

7、-x0)(x2-x1)先考虑l0(x)。因l0(x)是以x1,x2为零点的二次多项式,所以它可写成l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),其中0是待定系数。又因为l0(x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则可有0＝(x0－x1)(x0－x2)1l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),n1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxC

8、xl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日多项式与有关，而与无关节点f1.3n次插值定理(唯一性)满足的n阶插值