数值分析（李庆扬）CH.1.doc

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1、第一章绪论数值分析－研究各种数学问题求解的数值计算方法及其理论也称计算方法。数值计算——对已知数据进行有限次四则运算得到所需的数值结果。一般算法设计：对已知数据进行有限次四则运算和初等函数运算得到所需的数值结果。数值—用有限位小数表示的数。特点以数学问题位研究对象，具有高度抽象性与严密的科学性，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性。用计算机解决实际问题的过程大致是：数值计算方法数学模型实际问题计算结果程序设计数值计算古已有之，例如1。初等函数函数值的计算，e.g.2。数学模型通常表现为函数，这个函数本身需要用数值分析的方法来确定e.g.弹性力学问题在垂直方向分布

2、载荷为作用下，周边固定的弹性平板弯曲问题可以表示为可以证明，存在唯一的函数满足上述方程，就是弹性平板曲面的方程。但是二、误差误差的来源：模型误差（“理想化”产生的误差）观测误差（对模型中某些观测得来的物理量）方法误差—数学模型精确解与数值近似解之间的差舍入误差初值误差在本课程中，我们要研究如何控制和减小方法误差，对于其他的几类误差，一般不能控制，但要考虑它们的影响。第一误差的类型：设为精确值，为的一个近似值，则称为近似值的绝对误差为近似值的相对误差，通常也可认为的一个上界称为绝对误差限，的一个上界称为相对误差限。的误差限为某一位的半个单位，该位到的第一位非0数字共

3、有n位，则称有n位有效数字。数值方法的评价标准：收敛性：一个方法当计算步骤充分多时，近似解是否能够任意接近精确解？能：收敛；不能：发散。只有收敛的方法才有意义。e.g.Talor展式的收敛半径稳定性：舍入误差是否会积累？等价地，初始值有小的误差，当计算步骤充分多时，所有的计算结果是否也只有小的误差？不稳定的例误差估计的理论分析、概率估计、后验估计、数值实验。算法设计的几条原则：1.除数不能太小（与被除数相比而言）2.防止“大吃小”3.避免两相近数相减（会损失有效数字）