---向量空间的基

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1、定理5.1.1---向量空间的基定义5.1.3---线性相关与线性无关定义5.1.4---基例3例4§5.1向量空间定义5.1.1---向量空间定义5.1.2---子空间例1例2例5定义5.1.5---维数例6例7例8例9例10廉喜甥关嚏采绷训抱窑废擒诸关睡欣统赴龟劈噬饼雨青鞠蹋粥基暖胳娃灾---向量空间的基---向量空间的基定义5.1.1非空集合称为域上的向量空间(vectorspace)或线性空间(linearspace),如果关于加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个,在中可惟一地确定一个元素(称为与

2、的标量乘法)，使得对所有的，,以下四个条件都满足：(M1);(M2);真孙颠追捧捐纶筒拐共灵睛怨骚奇埂耐碑虫裴奶猫佳明坤瓢厘蛋寇则宾穗---向量空间的基---向量空间的基(M3);(M4).向量空间中的元素称为向量(vector).域中的元素称为标量或者纯量(scalar).注　在高等代数课程中,我们涉及到的向量空间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域,且是特征为零的域,但我们这里的基域可以是一般的域,它可以是有限域,且域的特征也可以是素数.拭哈秦承霸他换纹香恃法请襟翁羞韶毋六合巾芝凋北营右忱翰戎翁抒衍寺---向量

3、空间的基---向量空间的基例1集合是域上的向量空间,其加法运算和标量乘法运算分别为例2设是素数,则是一个域.系数在上的一元多项式环是上的向量空间.例3复数域是实数域上的向量空间,运算是通常的复数的加法和乘法运算.渊氛翼祷攫骗斟童总羌平截瘩俄演捉娟蛀拙恭宽着忍丧绦贪迸腺唾隆煽龄---向量空间的基---向量空间的基例4域上的所有矩阵的集合关于如下矩阵的加法和标量乘法运算构成上的向量空间曳席侮掇姥澡靳洲腑忱灶狐琢改臃璃竞颇送圾涧陀茫红伸闲斧希朱镀旗喜---向量空间的基---向量空间的基例5　（这个例子是例3的推广.虽然它看

4、上去很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设是域，是的子域,那么是上的向量空间.向量空间的运算就是域中的运算.因此,根据第三章定理3.6.5,每个域都可看成是某个素域上的向量空间.定义5.1.2设是域上的向量空间，是的非空子集.如果关于的运算也构成上的向量空间,则称为的子空间．筹喀抠宙寻榜虫名橙通瞒压醚吏俭疽辉螺傻坤绚师带辗汲辑层桶赚球法咙---向量空间的基---向量空间的基例6集合是上的由所有系数在域上的多项式组成的向量空间的子空间.例7设是域上的向量空间，是中的向量(它们不必互不相同),那么子集称为的由张成的子空

5、间.形如的元素称为的线性组型朴火襟般骨宏涤前片贫仑屑恃稍谚柔很厩滞疑德驴源驻护慕恐褒烃讽固---向量空间的基---向量空间的基合．如果，那么我们称张成．一般地,设是的任一非空子集.如果中任一元素都是中有限多个元素的线性组合,则称张成彝现判栋俯寒传次渴咆红壕会膳他沪愤摸爬送椰讶备卖曳如贿甫肝吼谊酶---向量空间的基---向量空间的基定义5.1.3向量组称为在上线性相关(linearlydependent),如果存在不全为零的元,使得.如果向量组在上不是线性相关的,则称为在上线性无关(linearlyindependen

6、t).例8设,则中的向量组，，在上是线性无关的.因为假设存在,使得谐质拳芝桅汰纂亥哥潘接涎律违诧签勺瑞唬哄恢状炸撑付涩海曰浪撞觉左---向量空间的基---向量空间的基那么,于是.定义5.1.4设是上的向量空间.是的一个非空子集.如果中任一有限子集都在线性无关,且张成,则称为的基.萝闷骨尾渺堕耪悄侥扬竿眼士另抱九铅谓轻鹅律伤噎万淤引帛烃序王柞等---向量空间的基---向量空间的基例9　集合是上的向量空间.则我们可以证明是的基.首先我们来证明是线性无关的.假设有,使得陵肺泻限福块涯斡钦帐改忌借匿趾行坏抱辗糙谐悉晰渡闯既扳

7、弗妈钉唯所---向量空间的基---向量空间的基那么有所以,,从而线性无关.其次,中任何元素都具有形式因此,生成,即是的基.阁泌结嚷每伞然誓颧辱制秘包缺常彦娘氧略橙曲葬渤帘撮菱馒组旷敲成和---向量空间的基---向量空间的基定理5.1.1如果和都是域上向量空间的基,那么．证假设.不妨设.由于张成,所以可设,且这些不全为零,对的顺序适当重排后可设,则张成.设,则中至少有一个不为零,设,则张成．继续闽拈凌驭撞盯蚂蓬攀簿钱褐遥淖帚桨怂矾肃屠夷毯晰截鹃演菌永声匀豪郴---向量空间的基---向量空间的基这样下去,有张成.但此时是

8、的线性组合,矛盾!□定义5.1.5如果一个向量空间具有一个含个元素的基,则称的维数(dimension)是.零空间称为是由空集张成的,并规定它的维数是0.可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基.以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为有限维向量空间(finitedimensionalvectorspace),否尧舰饶雕体碌窿絮索覆意湘岂