函数对称中心的求法解析

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1、函数对称中心的求法解析湖北省广水市第一中学（432700）刘才华题目函数的图象是中心对称图象，其对称中心为________.一、利用定义求对称中心分析根据中心对称图形的定义，在函数图象上的任意一点关于对称中心的对称点也在函数的图象上.∴，即.∴，代入函数式有：,化简得：，与是同一函数，则对应系数相等，故，∴，，即函数的对称中心为.点评利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析在函数的图象上取点、，它们关于对称中心的对称点分别为、也在函数的图象上.∴，

2、相减则，∴或.又若对称中心为，则关于的对称点应在函数图象上，而，∴不是对称中心，故对称中心为.点评这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析把函数变形为，设函数，∵为奇函数，∴其对称中心为，又将函数的图象按向量平移刚好得到，∴的对称中心是由的对称中心按向量平移得到的，即为．∴的对称中心为．点评这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心

3、就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.四、巧用导函数求对称中心分析如右图示，若函数的对称中心为，且点和点是函数图象上关于对称中心对称的两点，由对称性知，函数在，处的切线斜率相等，设斜率为，则，∴的两根为，，则，∴.又.∴函数的对称中心为.点评这里充分利用对称中心的性质：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函数，导函数的对称轴就是对称中心的横坐标，从而求出对称中心.