工程数学(三)概率统计 离散数学

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1、工程数学(三)概率统计离散数学如果我们关心事件A={没有次品},B={至少有2件次品},C={不多于k件次品}，则A,B,C可以分别用随机变量Y表示为A={e

2、Y(e)=0},B={e

3、Y(e)≥2},C={e

4、Y(e)≤k}.为方便起见，一般在事件表示中可省去e，因此也可表示为A={Y=0},B={Y≥2},C={Y≤k}.随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率，因此随机变量与普通函数有本质的差别.随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，因此有可能用微积

5、分的方法对随机试验的结果进行深入的研究.2.随机变量的分布函数定义3.2设X是一个随机变量，x是任意实数，函数值在［0,1］上的函数F(x)=P(X≤x),-∞

6、机变量.如果将X看成是数轴上随机点的坐标，那么，分布函数F(x）在x处的函数值就表示X落在区间（-∞,x］上的概率.例3.3设随机变量X所有可能取值为x1=-1,x2=2,x3=3.事件{X＝xi}(i=1,2,3）的概率为P(X＝-1)＝p1＝14,P(X＝2)＝p2＝12,P(X＝3)＝p3＝14,求X的分布函数，并求PX≤12,P32

7、率pk之和.因此有F(x)=0,x<-1,P(X=-1),-1≤x<2,P(X=-1)+P(X=2),2≤x<3,1,x≥3,即图3.1F(x)=0,x<-1,14,-1≤x<2,34,2≤x<3,1,x≥3.F(x)的图形如图3.1所示,它是一条阶梯形曲线,在x=-1,2,3处有跳跃点,跳跃值分别为14,12,14.又PX≤12=F12=14,P32

8、调不减等性质，我们指出分布函数F(x）具有以下基本性质：(1)0≤F(x)≤1(-∞

9、{X≤x2}.因此由概率的性质可知图3.2P(X≤x1)≤P(X≤x2),即F(x1)≤F(x2).对于（3）我们仅从几何上加以说明.在图3.2中将区间端点x沿数轴无限向左移动（即x→-∞)，则{随机点X落在点x左边}这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有F(-∞)=0；又若将点x无限向右（即x→+∞)，则{随机点X落在x左边}这一事件趋于必然事件，于是其概率趋于1，即有F(+∞)=1.(4)的证明从略.3.2离散型随机变量有一些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这样的随机变量称

10、为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布.例如某市的120急救电话台一昼夜收到的呼唤次数是离散型随机变量.若以T记某元件的寿命，它所可能取的值充满一个区间，是无法一一列举出来的，因此它是非离散型随机变量.要掌握一个离散型随机变量X的统计规律必须而且只须知道X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率.1.离散型随机变量的分布律一般用以下定义的分布律来表达离散型分布.设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=1,2,…)，事件{X=xi}的概率为pi(i=1,2,…),即P(X=xi)=pi,i=1,2,…,(3.

11、2)我们称式（3.2）为离散型随机变量X的分布律.分布律也可以用表格的形式来表示（见表3.1):表3.1Xx1x2…xn…pip1p2…pn…以上表格直观地表达了随机变量X取各个值的概率规律.X取各个值各占一些概率，这些概率之和为1.我们把它想象成概率1以一定的规律分布在各个可能值上，这就