概率论在数学建模中的应用数学建模论文

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1、概率论在数学建模中的应用摘要：概率论作为数学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用，无论是经济管理还是工业工程，其中都少不了概率的身影。人们通过对概率论和数理统计的研究成果来指导生产生活，对实际中出现的问题进行分析并寻求最好的解决方案。概率论在数学建模中也有着重要的地位，本文主要就彩票模型和空中交通管理两个实例对其在数学建模中的应用进行分析。引言：概率的研究从实际生活问题起源，在研究中升华，今日的概率论已被广泛应用于各个领域，成为一颗参天大树，枝多叶茂，硕果累累。正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较

2、小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深远，概率论发展的每一步都凝结着数学家的心血，正式一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天”。关键词：概率论；数学建模；彩票问题；空中交通管理；（模型一）问题：彩票中的数学要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。目前流行的彩票主要有下列两种类型：（1）“传统型”分析：投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5

3、个号码中选出1个特别号码，构成一注。开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级。假设：假设实际中彩民中奖情况与计算概率值相同建模：如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：中奖等级投注者选的基本号码投注者选的特别号码一等奖abcdefg二等奖abcdefX三等奖abcdeXXbcdefgX四等奖abcdXXXbcdeXXXcdefgX五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdefgX六

4、等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXefgX求解：投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是，不符的概率是。选的特别号码，与摇出号码相符的概率是，选错的概率是。因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有；；；；；。检验：对于“传统型”彩票，当中一等奖时计算所得概率p=0.,符合所求结果。（2）“乐透型”分析：投注者从01～36这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。开奖时，从01～36中摇出6个基本号码（无重复

5、，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级假设：假设实际中彩民中奖情况与计算概率值相同建模：如下表所示（其中O为摇出的基本号码，Y为摇出的特别号码，X为其他号码）：中奖等级投注者选的号码中奖概率一等奖OOOOOOY二等奖OOOOOOX三等奖OOOOOYX四等奖OOOOOXX五等奖OOOOYXX六等奖OOOOXXX七等奖OOOYXXX求解：36个号码可以分为3类：6个基本号码、1个特别号码和29个其他号码。彩民投注时，从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有种不同选法。在彩民

6、选出的7个号码中，恰好有个基本号码和个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选个，再从1个特别号码中选个，再从29个其他号码中选个，共有种不同选法，所以，中奖概率为（，）。检验：对于“乐透型”彩票，当i=6,j=1时，p=0.，符合所求结果。结论：彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：中奖等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖奖金额500元100元10元5元奖金额在高项奖中75%10%15%所占的比例其中，四等奖、五等奖、六等奖、七等奖称为“低项奖

7、”，奖金额固定；一等奖、二等奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出：，，。高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关：。按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为一等奖元，二等奖19335元，三等奖4834元设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量，他能得到的平均奖金额就是的数学期望，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得（元）。得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注

8、彩票付出的金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是。对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。（模型二