哲学与数学史视域中的极限思想探析

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3、s：meLi血id船，P饿，IIIfinite，Calclll惦，Dialcc_如．己I吉JI口极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。依据辨证唯物主义的观点来研究数学的对象和特点，研究数学发生和发展的规律，研究数学思想和哲学思想的关系，研究数学内容的现实原型和辩证性质等问题，是很有意义的工作。本文将站在哲学和数学史的视角，仅就极

4、限思想的来源、极限思想的发展历程、极限内容的辨证性质等问题进行探析。在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。极限理论是微积分学的基础，极76边形

5、得到：3．1415926<兀<3．1415927，这是领先国外上千年的惊人成果。在国外，古希腊时期也有极限思想。古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何3A学习网----中国最专业的学习网站3A学习网----中国最专业的学习网站三大问题感兴趣。安提芬在研究。化圆为方一的问题时想到用边数不断增加的内6接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭’’，而布赖森(Bryson，约公元前450年)则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边的面积来逼近圆面积的思想。不过没有他们具体计算的记载。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积

6、的一般方法一“穷竭法"，这种方法假定量的无限可分性，并且以下面命题为基础：“如果从任何量中减去～个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于他的一半的另一部分，等等，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。一①应用穷竭法，欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”。欧多克斯的穷竭法，也已体现出了极限论思想。德谟克利特(Democritus，约公元前46卜前357)，古希腊数学家、哲学家，他把哲学上的原子论引入了数学，创立了数学原子论。数学原子认为，线段、面积、立体多是由一些不可分的原子构成的，而计算面积、体积就是将这些“原子"累加起

7、来。虽然思想比较粗糙，但却是不可分量的雏形，带有了古朴的积分思想。回古希腊最伟大的数学家阿基米德生于西西里岛的一个希腊殖民城市叙拉古，他的数学著作主要有：《圆的测量》、《论球与圆柱》、《抛物线求积法》、《论螺线等等》，被誉为数学之神。他巧妙地把欧多克斯等人的穷竭法与德谟克利特的原子论观点结合起来，通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算万值数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的到目前仍在使用的“￡一6’’方法。另外，在柯西的努力下，连续、导