一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

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1、一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果，则方程称为齐次的；如果不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程2的通解问题。分离变量得两边积分得或其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。将1的通解中的常数换成的未知函数，即作变换两边乘以得两边求导得代入方程1得，于是得到非齐次线性方程1的通解将它写成两项之和【例1】求方程的通解。解：由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。以下几类为一阶微分方程的简捷求法1预备知

2、识形如(1)的方程称为一阶线性方程.这里、在所考虑的区间上是连续的.当时,方程(1)变为(2)方程(1)()称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解.形如(3)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解.2主要结果定理1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式(4)则它的通解为(5)证明将方程(4)化为两边积分得证毕.推论1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式(6)则

3、它的通解为(7)定理2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式(8)则它的通解为(9)证明在定理1的结果中,取便可得证.推论2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式(10)则它的通解为(11)定理3若一阶微分方程具有如下形式(12)当时,其通解为(13)当时,其通解为其中在所考虑区间上是连续的.证明若,方程(12)变为(15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得两边积分得此即为方程(15)的通解表达式.若,方程(12)两端同除以得令,则定理3若一阶微分方程具有如下形式(12)则它的通解为(5)证明将方程(12)化为方程两端除以,得到令,则,代入上式,得到关于

4、变量的一阶线性方程两边积分得证毕.定理3若一阶线性微分方程具有如下形式(12)则它的通解为(5)证明将方程(12)化为方程两端除以,得到令,则,代入上式,得到关于变量的一阶线性方程两边积分得证毕.