数非齐次线性微分方程特解求解方法

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1、万方数据第27卷第3期2009年6月凯里学院学报JournalofKailiUniversityV01．27No．3JUll．2009二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法余智君(贵州大学理学院基础教学部，贵阳550003)摘要：从推导二阶常系数非齐次线性微分方程的特解过程中归纳出一种较为直观、简便的求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法，并且举例说明了它们的应用．关键词：微分方程；特解；特征方程中图分类号：0241．81文献标识码：A文章编号：1673～9329(2009)03—0004—02解二阶常系数非齐次线性微分方程通解的关键是求其特解。而

2、目前的高等数学教材¨’41对二阶常系数非齐次线性微分方程矿+缈7+秽=／(z)的特解均进行分类处理．1)当，(z)=矿P。(工)型．设特解Y’=∥Q。(z)eL，其中Q。(z)与P。(z)是同次的多项f0A不是特征方程的根，式，矗=．{1A是特征方程的单根，12叉是特征方程的二重根．2)当厂(z)=矿rP，COS啦+P。(z)sin啦]型．设特解y。一∥矿[R￡’(z)COS啦+R等’(z)sin啦]，其中R譬’(z)，R等’(z)是171次的多项式，m—max{l，咒}，志一{0。：圭：茎羞纂芸耄嚣篓根，然后把y*代【lA士幻是特征方程的根⋯⋯一。一入

3、方程少+缈7+qY=，(z)，比较方程两边同类项的系数。用待定系数法求出Q。(z)，R譬’(z)，R等’(z)，从而得到特解Y*．但是这样求解计算量非常大，学生也难记忆，尤其当Y*是几个不同类型函数的乘积时，将Y*代入方程求Q。(z)，R2’(工)，R警’(z)非常繁琐，本文旨在给出一种求，+缈7+qY=厂(z)的特解的简化方法．因为厂(z)=P。(z)eLrCOS(肛及，(z)=P。(z)矿sincox分别是P。(z)e“‰h的实部与虚部，所以方程少+缈7+qY=P。(z)e∞’COS眦，(1)，+缈7+qY=P，(z)emsinc叫(2)的特解分别等

4、于方程，+幻7+秽=P。(z)e“‰h的特解的实部与虚部，于是得到求方程(1)和(2)的特解的步骤．i)求方程，+力7+秽=P。(z)P“怕h的特解j，’；ii)y+的实部与虚部分别是(1)和(2)的特解．这样(1)与(2)这两类方程就可合并为一类方程，+缈7+qY=P。(z)矿(3)来求解，而方程(3)的特解为Y’=∥Q。(z)矿，令≯Q。(z)一Q(z)得Y’一Q(z)矿，将Y’代入原方程(3)得∥(z)+(22+p)Q7(z)+(A2+烈+口)Q(z)=P。(z)(4)当A是特征方程的二重根时，有A2+烈+q一0，22+P一0，则d7(z)一P，(

5、z)．当A是特征方程的单根时，有A2+烈+q=0，但玖+户≠0，则硝(z)+(22+p)d(z)=P(z)；当A不是特征方程的根时，有Q”(z)+(22+p)Q’(z)+(A2+础+q)Q(z)=P。(z)．由此可以看出将特解，’一∥Q。(z)矿代入(3)式求Q。(z)与将Q(z)代入(4)式求Q(z)在本质上一样的，而且代入(4)式计算量大大减少。下面用上述方法来二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：例1求微分方程少一6y7+9y=(z+1)e3。的1个特解．解特征方程r上一6r+9=0，特征根n=r2=3，所以A=3是特征方程的二重根，P。(z)一z+

6、1，故设特解y’=z2(ax+b)e3。=(ax3+妇2)ek，令Q(z)=凹3+k2，由秽(z)=P。(z)得6ax+2b—z+1，比较等式两端同次幂的系数得收藕日期：2009—03—09作者简介：余智君(1976一)女，湖南邵阳人，贵州大学理学院基础教学部讲师．万方数据第3期余智君：二阶常系数非齐次线性微分方程特解术解方法的尝试·5。f6口一1l口2百’≮，净16：专．所以y。=c警+等)e3。．例2求微分方程，+2y7—3y=：re。的1个特解．解特征方程为r2+2r--3=0，特征根r，=1，r2=一3，所以A=1是特征方程的单根，P。(z)一z

7、，故设Y’=z(or+6)e。=(ax2+bx)e。，令Q(z)一仳2+bx，由秽(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z)，2A+P一4，得2a+4(2ax+6)=z，比较等式两端同次幂的系数得f8口：1l口2i’I2a+4b=。净1一去，所以y’一(吾一蠢培．例3求微分方程，一2y7+2y=xe。cosz的1个特解．解(i)先求微分方程／一2y7+2y=xe‘1帅。的特解Y’．特征方程为r2—2r+2—0，特征根n—r2=1±i，所以A=1+i是特征方程的根，P。(z)一z。故设Y‘=x(ax+b)e‘1+ih一(ax2+bx)e“Ⅷ。，令Q(z)一

8、甜2+bx，由∥(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z)，2A+P一4，得2口