线性代数临考复习讲义

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1、目录第一章行列式""""""""""""""""""""""""3第二章矩阵""""""""""""""""""""""""24第三章n维向量和线性方程组"""""""""""""""""41第四章向量空间"""""""""""""""""""""""73第五章特征值、特征向量，实对称阵的对角化""""""""""82第六章二次型""""""""""""""""""""""""93第一章行列式一、基本要求:1.理解n阶行列式的概念2.掌握行列式的性质,会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理熟练计算3、4阶行列式,会计算较简单的n阶行列式。二、基本概念与要点揭示1、行列式概念(i)n阶行列

2、式a11D=a21a12a22"a1n"a2n""""an1an2"ann等于n!项的代数和,每项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积;a1p,a2p12,",anp,这n里p1,p2,",pn是1,2,⋯,n的一个n元排列,当p1p2"pn为偶排列时,该项带正号;当p1p2"pn为奇排列时,该项带负号,记为1p1D=∑(−1)τ(p1p2"pn)aa2p2"anpnp1p2"pn其中∑表示对1,2,⋯,n的n!个全排列求和,上式右端称为n阶行列式的展开式。p1p2"pn(ii)转置行列式:若记a11D=a21a12a22"a1n"a2n,DTa11=a12a21a22

3、"an1"an2""""""""an1an2"anna1na2n"ann则称行列式DT为行列式D的转置行列式。(iii)代数余子式:在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,留下来i+j的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记作Mij。余子式Mij连同符号(−1)i+j的乘积Aij=(−1)Mij称为元素aij的代数余子式。元素aij的代数余子式Aij与aij的位置有关,而与aij本身数值无关。2.行列式的性质(i)行列式与它的转置行列式相等。(ii)互换行列式的任意两行(列),行列式变号。(iii)行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外,或者说,

4、用一个数乘行列式等于用该数乘行列式的某一行(列)。(iV)若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或有一行(列)元素全为零,行列式的值为零。(V)若行列式的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和,即a11a12"a1na11a12"a1na11a12"a1n""""""""""""ai1+bi1ai2+bi2"ain+bin=ai1ai2"ain+bi1bi2"bin""""""""""""an1an2"annan1an2"annan1an2"ann(vi)将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应

5、的元素上去,行列式的值不变。3.行列式按行(列)展开(i)n阶行列式D中的任意一行(列)的各元素aij与其对应的代数余子式Aij的乘积之和等于D的值;而任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即n⎧D,i=j;ai1Aj1+ai2Aj2+"+ainAjn=∑aikAjk=Dδij=⎨,i≠j(1)k=1n⎩0⎧D,i=j;或a1iA1j+a2iA2j+"+aniAnj=∑akiAkjk=1=Dδij=⎨⎩0,i≠j(2)⎧1,i=j;其中δij=⎨⎩0,i≠称(1)式为按行展开,(2)式为按列展开。j(ii)*行列式的拉普拉斯(Laplace

6、)展开k阶子式定义:n阶行列式D中,任取k行k列(1≤k≤n),位于这些行和列的交点上k2个元素按原来次序所构成的k阶行列式N,称为n阶行列式D的一个k阶子式。k阶子式的代数余子式定义:在n阶行列式D中划去某k阶子式N所在的k行k列后剩下的元素按原来次序所构成的n-k阶行列式M,称为k阶子式N的余子式。假如k阶子式N所在行的序号是i1,i2,",ik,所在列的序号是j1,j2,",jk,那么(−1)i1+i2+"+ik+j1+j2+"+jkM=A,称为k阶子式N的代数余子式。拉普拉斯(Laplace)定理:设在n阶行列式D中任意取定了k个行(1≤k≤n−1),由这k个行元素所构成的一切k阶

7、子式与它们所对应的代数余子式乘积的和等于行列式D的值。即若在D中取定k行后得到的一切k阶子式为N1,N2,",Nt,它们所对应的代数余子式依次为A1,A2,"At,则D=N1A1+N2A2+"+NtAtt=∑NiAii=1n其中t=Ck=n(n−1)"(n−k+1)=k!n!k!(n−k)!拉普拉斯展开的两个特殊情况:a11"a1n0"0""""""a11"a1nb11"b1ma