概率论与数理统计 答案 第七章

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1、第七章参数估计1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。解：μ，σ2的矩估计是。2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）其中θ>0，θ为未知参数。（5）为未知参数。解：（1），得（2）（5）E(X)=mp令mp=，解得3．[三]求上题中各未知参数的极大似

2、然估计值和估计量。解：（1）似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。(解唯一)故为极大似然估计量。（5），解得，（解唯一）故为极大似然估计量。4．[四(2)]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计X~π(λ)，E(X)=λ，故=为矩估计量。（2）极大似然估计，为极大似然估计量。（其中5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去

3、经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为==0.499[四(1)]设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ)2其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）求θ的矩估计值则得到θ的矩估计值为（2）求θ的最大似然估计值似然函数lnL(

4、θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导得到唯一解为8．[九(1)]设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。解：由于=当。[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°，3°有即T1，T2是θ的无偏估计量（2）由方差的性质2

5、°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知D(T1)>D(T2)所以T2较为有效。14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060.16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口

6、速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。解：σ的置信度为0.95的置信区间为其中α=0.05,n=9查表知19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为其中α=0.01，z0.005=2.58,n1=n2

7、=20,20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比的置信度为0.95的置信区间。解：的置信度为0.95的置信区间=(0.222,3.601).其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025(9,9)=4.03,。第八章假设检验1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24。设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂

8、的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知步骤：（1）提出假设检验H：μ=3.25;H1：μ≠3.25（2）选取检验统计量为（3）H的拒绝域为

9、t

10、≥（4）n=5,α=0.01，由计算知查表t0.005(4)=4.6041,（5