初中数学三角函数

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1、初中三角函数1．1 正弦和余弦例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin2α+cos2α=1；（2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sinα+cosα=1，求sin3α+cos3α的值．证明（1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有sin2α+cos2α=1．（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以

2、在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有sin3α+cos3α=1．例2 求证：对于0°≤α≤90°，证法一 如图6-1，设BC=a，AC=b，AB=c．由锐角三角函数当α=0°或α=90°时，容易验证以上等式仍成立．证法二点评 证法一是根据锐角三角函数的定义；证法二用了公式sin2α+cos2α=1．证

3、明一个三角恒等式成立，可变换等号左（右）端的式子，如得到等号右（左）端的式子，原恒等式就被证明了．一般对较复杂的式子进行变换，也可以对等号左、右的式子都进行变换，如得到相同的式子，原恒等式就被证明了．1．2 正切和余切 证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=（2）α必须满足不等式：0°＜α＜90°．如图6-2，所以tgα·ctgα=1．例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解法一 x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-

4、3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而解法二 tgα=3，用cos2α除原式分子、分母，得证法一 如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则所以原式成立．证法二 等式的左端点评 这里α≠0°，90°．怎样理解锐角三角函数的概念？　　答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．　　关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等

5、的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，　　B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，　　∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，　　　　因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．　　根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．　　这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边

6、的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即　　　　深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：　　(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．　　只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．　　(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是

7、怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．　　[例]求出图2中sinD，tgE的值．　　　　　　　　　　(3)“sinA”等是一个完整的符号．　　整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．　　锐角三角函数定义把形与数结合起来，从事物的相互联系去观察，对直角三角形不是孤立地看它的角，它的边，而是抓住了它们之间的联系，从而为深入研究问题打开了思路，奠定了基础

8、．从定义的导出过程不难看出，锐角三角函数是数(比值)和形(角A)完美结合的结果，同学们应该在学习中很好地体会和掌握这种研究问题的思想方法．计算