线性代数 第四章 相似矩阵 习题

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1、第四章相似矩阵1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1)　；(2)　解　(1)　根据施密特正交化方法:令，，，故得:．2．下列矩阵是不是正交阵:(1)　;(2)　．解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．证明因为是阶正交阵，故，，故也是正交阵．4．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并问它们的特征向量是否两两正交?解(1)　①　故的特征值为．②　当时,解方程,由得基础解系所

2、以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征向量．③　故不正交．(2)　①　故的特征值为．②　当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量；当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量．③　，，，所以两两正交．(3)　=,当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5．设方阵与相似，求.解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即．6．设都是阶方阵，且，证明与相

3、似．证明则可逆则与相似．7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，，，求.解根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解设由，知①因为3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.则存在实的使得②成立．由①②解得．得．9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);　　(2)．解　　(1)　故得特征值为．当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取:当时,由　　解得．单位

4、特征向量可取:得正交阵，(2)，故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量，单位化得当时,由解得单位化:得正交阵．10．(1)　设，求；(2)　设,求．解　　(1)　是实对称矩阵.故可找到正交相似变换矩阵使得从而因此．(2)　同(1)求得正交相似变换矩阵使得．