解一元二次方程的方法

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时间:2018-01-23

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1、解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadraticequationofonevariable)。一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.里面要有等号,且分母里不含未知数。 (4)将方程化为一般形式:ax^2+bx+c=0时,应满足(a、b、c为常数,a≠0)补充说明1、该部分的知识

2、为初等数学知识,一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是高考的热点。 3、方程的两根与方程中各数有如下关系:X1+X2=-b/a,X1·X2=c/a(也称韦达定理) 4、方程两根为x1,x2时,方程为:x^2-(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得) 5、在系数a>0的情况下,b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0时有两个相等的实数根,b^2-4ac<0时无实数根。一般式  ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数,a≠0)例如:x^2+2x+1=0配方式  a(x+b/2

3、a)^2=(b^2-4ac)/4a^2  两根式(交点式)  a(x-x1)(x-x2)=0  一般解法1.分解因式法  (可解部分一元二次方程)  因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。  如  1.解方程:x^2+2x+1=0  解:利用完全平方公式因式解得:(x+1﹚^2=0  解得:x?=x?=-1  2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0  解:利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0  即x-3=0或x+

4、1=0  ∴x1=3,x2=-1  3.解方程x^2-4=0  解:(x+2)(x-2)=0  x+2=0或x-2=0  ∴x?=-2,x?=2  十字相乘法公式:  x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)  例:  1.ab+b^2+a-b-2  =ab+a+b^2-b-2  =a(b+1)+(b-2)(b+1)  =(b+1)(a+b-2)2.公式法  (可解全部一元二次方程)  首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根  1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根(初中)  2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的

5、实数根即x1=x2  3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根  当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a  来求得方程的根3.配方法  (可解全部一元二次方程)  如:解方程:x^2+2x-3=0  解:把常数项移项得:x^2+2x=3  等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4  因式分解得:(x+1)^2=4  解得:x1=-3,x2=1  用配方法解一元二次方程小口诀  二次系数化为一  常数要往右边移  一次系数一半方  两边加上最相当4.开方法  (

6、可解部分一元二次方程)  如:x^2-24=1  解:x^2=25  x=±5  ∴x?=5x?=-55.均值代换法  (可解部分一元二次方程)  ax^2+bx+c=0  同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0  设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m(m≥0)  根据x1*x2=c/a  求得m。  再求得x1,x2。  如:x^2-70x+825=0  均值为35,设x1=35+m,x2=35-m(m≥0)  x1*x2=825  所以m=20  所以x?=55,x?=15。  一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在

7、考试中运用到)  一般式:ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系:  x1+x2=-b/ax1*x2=c/a如何选择最简单的解法  1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)  2.看是否可以直接开方解  3.使用公式法求解  4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。如果要参加竞赛,可按如下顺序:  1.因式分解2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法例题精讲1、开方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方

8、法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)

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