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1、关于数学分析中极限求解的若干方法摘要：在数学分析中,极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念,其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等.研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分、级数等等.因此,极限是数学分析中非常重要的一个概念.本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路．关键词：函数；极限；方法SomeSolutionsofGettingLimitinMathematicalAnalysisAbstract:Limitcontainsprof
2、ounddialecticalmathematicalconcepts,itcontainsconstan-tandvariable,limitedandinfinite,preciseandapproximate.Inthemathematicalanalysis,ith-asavarietyofformsoflimits.Thispapermainlydiscussessomeideasandmethodsinsolvingthelimitsofmathematicalanalysis,analysisthesolvingprocessofagenerallimi
3、t,givestheg-eneralsolutionandskilloflimit,andalsorevealsthethoughtsofgetingthelimit,whichisco-mbinedwithconcreteexamples.Keywords:Function;Limit;Solution151引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.它把初等数学扩展为一个新的阶段—变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科.从不同的数学角度去体
4、验和理解极限这一数学概念,对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.2数学分析中极限求解的方法2.1利用定义求极限定义1设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有，则称函数当趋于时以为极限,记作或.例1用极限的定义证明.证由于,,因此.于是,对任给的,取则当时,有注用极限的定义时,只需要证明存在,故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步
5、放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的(或15)一致,最后结合在一起考虑.2.2利用极限的运算法则求极限定理1已知,都存在,极限值分别为,,则(1)；(2)；(3)（此时需成立).例2求.解原式.注1对于和、差、积、商形式的函数求极限,可以采用极限运算法则,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在(对商,还要分母极限不为零)时才能适用.2.3利用单调有界准则求极限定理2在实数系中,有界的单调数列必有极
6、限.例3证明数列（n重根式)的极限存在.分析显然,故数列单调增加.下面证有界.由于数列由递推关系给出,解题时通常先估计出它的上下界,再用数学归纳法证明.下界显然是,取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界,可先假设极限存在,且设15,再由,易得,对其两边求极限得,解得,显然所有大于的实数都是的上界,为便于计算,取的上界为3,然后用数学归纳法加以证明.证明(1)显然,故数列单调增加；(2)显然0,假设,则，再对式子两边求极限得,,从而.注利用单调准则证明极限存在,主要针对递推数列,必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性,一般通过数学归纳
7、法、减法、除法比较前后项．2.4利用夹逼准则求极限定理3设,且在某一空心邻域内有，则.例4求.解当时,有,从而,由夹逼准则得15,所以.注1夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小,而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数,,使；（2）,由此可得.2.5利用两个重要极限求极限两个重要极限:（1)；(2).根据复合函数的极限运算法则,可将以上两个公式进行推广:(1)()；(2).例5.解.152.6利用无穷小的性质和等价无穷小代换求
