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1、《数学分析》教案第二十章曲线积分教学目的：掌握两类曲线积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系。教学内容：1、第一型曲线积分的概念、性质与计算；2、第二型曲线积分的概念、性质与计算。教学重点：曲线积分的概念、计算；教学难点：曲线积分的计算教学时数：10学时§1第一型曲线积分（4学时）教学目的：掌握第一型曲线积分的概念、性质及计算教学重点：第一型曲线积分的概念、性质及计算教授方法：讲授为主一.第一型线积分的定义:1. 几何体的质量:已知密度函数,分析线段的质量2. 曲线的质量:3
2、. 第一型线积分的定义:定义及表示法.线积分,.4. 第一型线积分的性质:教材P198二.第一型线积分的计算:1. 第一型曲线积分的计算:回顾“光滑曲线”概念。-6-《数学分析》教案Th20.1设有光滑曲线,.是定义在上的连续函数.则.(证)教材P199若曲线方程为:,则.的方程为时有类似的公式.例1设是半圆周,..教材P200例1例2设是曲线上从点到点的一段.计算第一型曲线积分.教材P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分:设空间曲线,.函数连续可导,则对上的连续函
3、数,有.例3 计算积分,其中是球面被平面截得的圆周.教材P201例3解由对称性知，,=.(注意是大圆)-6-《数学分析》教案§2第二型曲线积分（4学时）教学目的：掌握第二型曲线积分的有关概念、性质及计算教学重点：第二型曲线积分的有关概念、性质及计算教授方法：讲授为主一. 第二型曲线积分的定义:1. 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得,即.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场.求在
4、单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点处的切向量为,(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧,在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定,即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向.).在弧段上的流量.,因此,.-6-《数学分析》教案由,得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.3.第二型曲线积分的定义:闭路积分的记法.按这一定义,有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流速场在单位时间内通过曲线AB从
5、左侧到 右侧的总流量E为. 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分. 4.第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题。与我们以前讨论过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的，还是用Riemma的思想建立的积分。因此，第二型曲线积分具有(R-6-《数学分析》教案)积分的共性，如线性、关于函数或积分曲线的可加性。
6、但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关。 二.第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:.A,B;函数和在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有.(证略)例1计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为ⅰ）直线段ABⅱ）抛物线;ⅲ）A(1,1)D(2,1)B(2,3)
7、A(1,1),折线闭合路径.P205例1例2 计算积分,这里L:ⅰ）沿抛物线从点O(0,0)到点B(1,2);ⅱ）沿直线从点O(0,0)到点B(1,2);-6-《数学分析》教案ⅲ）沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).教材P205例1例3计算第二型曲线积分I=,其中L是螺旋线,从到的一段.教材P207例3例4求在力场作用下,ⅰ）质点由点A沿螺旋线到点B所作的功，其中 ：,. ⅱ）质点由点A沿直线到点B所作的功教材P207例4习题课（2学时）-6-
