大一高数复习资料

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1、---高等数学第一章函数与极限第一节函数●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲）●邻域（去心邻域）（▲）第二节数列的极限●数列极限的证明（▲）〖題型〗已知数列，证明〖证明〗语言1．由化簡得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴第三节函数的极限●时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数，证明〖证明〗语言1．由化簡得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴●时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数，证明〖证明〗语言1．由化簡得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴第四节无穷小与无穷大●无穷小与无穷大的本质（▲）函

2、数无穷小函数无穷大●无穷小与无穷大的相关定理与推论（▲▲）（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大〖題型〗計算：（或）1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；（∵≤，∴函数在上有界；）2．即函数是时的无穷小；（即函数是时的无穷小；）3．由定理可知（）第五节极限运算法则●极限的四则运算法则（▲▲）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式、商式的极限运算设：则有（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便

3、可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）〖題型〗求值-.可修编.---〖求解示例〗解：因為，从而可得，所以原式其中为函数的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：●连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（▲▲）（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，〖題型〗求值：〖求解示例〗第一节极限存在准则及两个重要极限●夹迫准则（P53）（▲▲▲）第一个重要极限：∵，∴（特别地，）●单调有界收敛准则（P57）（▲▲▲）第二个重要极限：（一般地，，其中）〖題型〗求值：〖求解示例〗第二节无穷小量的阶（无穷小的比较

4、）●等价无穷小（▲▲）1．2．（乘除可替，加减不行）〖題型〗求值：〖求解示例〗第三节函数的连续性●函数连续的定义（▲）●间断点的分类（P67）（▲）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）〖題型〗设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？〖求解示例〗1．∵2．由连续函数定义∴-.可修编.---第一节闭区间上连续函数的性质●零点定理（▲）〖題型〗证明：方程至少有一个根介于与之间〖证明〗1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；2．∵（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（）4．这等式说明方

5、程在开区间内至少有一个根第一章导数与微分第一节导数概念●高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（▲▲）〖題型〗已知函数，在处可导，求，〖求解示例〗1．∵，2．由函数可导定义∴〖題型〗求在处的切线与法线方程（或：过图像上点处的切线与法线方程）〖求解示例〗1．，2．切线方程：法线方程：第二节函数的和（差）、积与商的求导法则●函数和（差）、积与商的求导法则（▲▲▲）1．线性组合（定理一）：特别地，当时，有2．函数积的求导法则（定理二）：3．函数商的求导法则（定理三）：第三节反函数和复合函数的求导法则●反函数的求导法则（▲）

6、〖題型〗求函数的导数〖求解示例〗由题可得为直接函数，其在定于域上单调、可导，且；∴●复合函数的求导法则（▲▲▲）〖題型〗设，求〖求解示例〗第四节高阶导数●（或）（▲）〖題型〗求函数的阶导数〖求解示例〗，，……第五节隐函数及参数方程型函数的导数●隐函数的求导（等式两边对求导）（▲▲▲）〖題型〗试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程〖求解示例〗由两边对求导即化簡得∴∴切线方程：-.可修编.---法线方程：●参数方程型函数的求导〖題型〗设参数方程，求〖求解示例〗1.2.第一节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第

7、二节函数的微分●基本初等函数微分公式与微分运算法则（▲▲▲）第二章中值定理与导数的应用第一节中值定理●引理（费马引理）（▲）●罗尔定理（▲▲▲）〖題型〗现假设函数在上连续，在上可导，试证明：，使得成立〖证明〗1．（建立辅助函数）令显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；2．又∵即3．∴由罗尔定理知，使得成立●拉格朗日中值定理（▲）〖題型〗证明不等式：当时，〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化簡得，即证得：当时，〖題

8、型〗证明不等式：当时，〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数，则对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡得，又∵，∴，∴，即证得：当时，第二节罗比达法则●运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（▲▲）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法