大一高数复习资料

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1、.-第一章函数与极限第一节函数○邻域〔去心邻域〕第二节数列的极限○数列极限的证明【题型例如】数列，证明【证明例如】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴第三节函数的极限○时函数极限的证明【题型例如】函数，证明【证明例如】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴○时函数极限的证明【题型例如】函数，证明【证明例如】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴极限存在准那么及两个重要极限○夹逼准那么第一个重要极限：∵，∴〔特别地，〕○单调有界收敛准那么第二个重要极限：〔一般地，，其中〕【题型例如】求值：【求解例如】第四

2、节无穷小量与无穷大量○无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大的相关定理与推论〔定理三〕假设为有界函数，为无穷小，那么〔定理四〕在自变量的某个变化过程中，假设为无穷大，那么为无穷小；反之，假设为无穷小，且，那么为无穷大【题型例如】计算：〔或〕-.word.zl.-1．∵≤∴函数在的任一去心邻域是有界的；〔∵≤，∴函数在上有界；〕2．即函数是时的无穷小；〔即函数是时的无穷小；〕3．由定理可知〔〕无穷小量的阶○等价无穷小〔P65/P77〕~(外加此公式)〔乘除可替，加减不行〕【题型例如】求值：【求解例如】【题型例如】求值【求解例如】解：因为，从而可得，

3、所以原式〔其中为函数的可去连续点〕倘假设运用罗比达法那么求解〔详见第三章第二节〕：解：○连续函数穿越定理〔复合函数的极限求解〕〔定理五〕假设函数是定义域上的连续函数，那么，【题型例如】求值：【求解例如】【题型例如】求值：【求解例如】第一节函数的连续性○函数连续的定义○连续点的分类〔特别地，可去连续点能在分式中约去相应公因式〕【题型例如】设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？【求解例如】1．∵2．由连续函数定义∴闭区间上连续函数的性质○零点定理【题型例如】证明：方程至少有一个根介于与之间【证明例如】-.word.zl.-1．〔建立辅助函数〕函数在闭区间上连

4、续；2．∵〔端点异号〕3．∴由零点定理，在开区间至少有一点，使得，即〔〕4．这等式说明方程在开区间至少有一个根第一章导数与微分第一节导数概念〔导数公式表P111〕○高等数学中导数的定义及几何意义【题型例如】函数，在处可导，求，【求解例如】1．∵，2．由函数可导定义∴【题型例如】求在处的切线与法线方程〔或：过图像上点处的切线与法线方程〕【求解例如】1．，2．切线方程：法线方程：第二节求导的根本法那么○函数和〔差〕、积与商的求导法那么1．线性组合〔定理一〕：特别地，当时，有2．函数积的求导法那么〔定理二〕：3．函数商的求导法那么〔定理三〕：○反函数的求导【题型例如】求

5、函数的导数【求解例如】由题可得为直接函数，其在定于域上单调、可导，且；∴○复合函数的求导法那么(P习题2.2)【题型例如】设，求【求解例如】高阶导数○〔或〕【题型例如】求函数的阶导数【求解例如】，，……第三节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导〔等式两边对求导〕【题型例如】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程【求解例如】由两边对求导即化简得-.word.zl.-∴∴切线方程：法线方程：○参数方程型函数的求导【题型例如】设参数方程，求【求解例如】1.2.第四节函数的微分○根本初等函数微分公式与微分运算法那么第六节微分学中值定理○罗尔定理〔1〕在闭区

6、间[a,b]上连续〔2〕在开区间〔a,b〕可导〔3〕f(a)=f(b)那么至少存在一点在〔a,b〕使f(x)可导○拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当时，【证明例如】1．〔建立辅助函数〕令函数，那么对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化简得，即证得：当时，【题型例如】证明不等式：当时，【证明例如】1．〔建立辅助函数〕令函数，那么对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化简得，又∵，∴，∴，即证得：当时，第七节罗比达法那么○运用罗比达法那么进展极限

7、运算的根本步骤1．☆等价无穷小的替换〔以简化运算〕2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法那么的三个前提条件A．属于两大根本不定型〔〕且满足条件，那么进展运算：〔再进展1、2步骤，反复直到结果得出〕B．☆不属于两大根本不定型〔转化为根本不定型〕⑴型〔转乘为除，构造分式〕【题型例如】求值：【求解例如】〔一般地，，其中〕⑵型〔通分构造分式，观察分母〕【题型例如】求值：【求解例如】⑶型〔对数求极限法〕【题型例如】求值：-.word.zl.-【求解例如】⑷型〔对数求极限法〕【题型例如】求值：【求解例如】⑸型〔对数求极限法〕【题型例如】求值：【求解例如】○运用罗比

8、达法那么进