行列式的若干种计算方法

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1、内蒙古财经大学本科学年论文行列式的若干种计算方法作者姚淑娟系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级2009级学号902094131指导教师李明远导师职称讲师内容提要行列式在数学中是一个函数,其定义域为的矩阵,取值为一个标量,写作.行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式

2、的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.关键词:级行列式初等变换降阶法拉普拉斯（）定理范德蒙德（）行列式.目录一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法1(一)解二阶行列式1(二)解三阶行列式1二、阶行列式的概念及其解法2（一）逆序数2（二）阶行列式的定义2（三）阶行列式的性质3三、阶行列式的解法4（一）定义法求解行列式4（二）化三角形法求解行列式5（三）利用初等变换求解行列式5（

3、四）将行列式按行或按列展开求解行列式6（五）加边法或升阶法8（六）拉普拉斯（）定理8（七）范德蒙德（）行列式11参考文献14行列式的若干种计算方法行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本

4、的数学工具,都有着重要的应用.一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式对二元线性方程组进行消元可得,.若则方程组有唯一解,为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]其中叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为,.例1.1计算二阶行列式.(二)解三阶行列式16为了得出关于三元线性方程组的类似解法,我们引入三阶行列式.若方程组的系数行列式则方程组有唯一解,,.其中,,.例1.2计算三阶行列式.从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此

5、需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了阶行列式的概念.二、阶行列式的概念及其解法（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列的逆序数记为.[2]（二）阶行列式的定义16等于取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里是的一个排列.上述定义可表示为:.这里表示阶排列的逆序数,表示对所有阶排列求和.（三）阶行列式的性质性质1行列互换行列式不变,即.由性质1可以得到下三角行列式.性质2一行的公因式可以提出来,即.事实上如果就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.

6、推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0.性质3把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变.即16.性质4对换行列式中两行（列）的位置行列式反号.即.以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.性质5如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同.即.性质6如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质7如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0.即.行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.三、阶行列

7、式的解法（一）定义法求解行列式例3.1解行列式16.观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知因此则.（二）化三角形法求解行列式思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.例3.2计算行列式解:首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.（三）利用初等变换求解行列式思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到