动点的轨迹问题

《动点的轨迹问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、-.动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形〞转化为“数〞，将“曲线〞转化为“方程〞，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该容不仅贯穿于“圆锥曲线〞的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有表达和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考察学生创新意识为突破口，注重考察学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向

2、量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的根本步骤：建立现代化〔检验〕建〔坐标系〕设〔动点坐标〕现〔限制条件，动点、点满足的条件〕代〔动点、点坐标代入〕化〔化简整理〕检验〔要注意定义域“挖〞与“补〞〕求轨迹方程的的根本方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2．定义法：运用解析几何中一些常用定义〔例如圆锥曲线的定义〕，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.代入法：动点所满足

3、的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，那么可先将--.可修编-.-.x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，那么可借助中间变量〔参数〕，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方

4、程。可以说是参数法的一种变种。6.转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一曲线上运动，那么只需将Q点的坐标来表示，并代入曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。此局部容主要考察圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源〞。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆

5、锥曲线定义解题的意识，“回归定义〞是一种重要的解题策略。二、考前须知：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。--.可修编-.-.来表示，假设要判断轨迹方程表示何种曲线，那么往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，〔即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕，又要检验是否丢解。〔即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示〕，出现增解那么要舍去，出现丢解，那么需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。

6、在此不一一缀述。【典型例题选讲】一、直接法题型：例1直角坐标系中，点Q〔2，0〕，圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，那么。设，那么化简得〔1〕当时，方程为，表示一条直线。〔2〕当时，方程化为表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式--如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN〔M、N分别为切点〕，使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．--.可修编-.-.解：以的中点O为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，那么由可得：因为

7、两圆的半径均为1，所以设，那么，即所以所求轨迹方程为：〔或〕评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖〞与“补〞。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义〔例如圆锥曲线的定义〕，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2A、B、C是直线l上的三点，且

8、AB

9、=

10、BC

11、=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.【