小学奥数-几何五大模型相似模型

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1、-.任意四边形、梯形与相似模型模型四相似三角形模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②。所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的

2、情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例1】如图，在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？-.word.zl.-.【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以．【例1】如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份。如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以，，所以厘米。【例2】如图，平行，假设，那么________。【解析】根据金字塔模型，，设份，那么份，份，所以。【例3】如图，中，，，互相平行，，那么。-.word.zl.-

3、.【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以【稳固】如图，平行，且，，，求的长。【解析】由金字塔模型得，所以【稳固】如图，中，，，，，互相平行，，那么。【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有-.word.zl.-.【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。【例1】中，平行，假设，且比大，求。【解析】根据金字塔模型，，设份，那么份，份，比大份，恰好是，所以【例2】如图：平行，，，求的长度【解析】在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中

4、有：，因为，，所以【稳固】如图，平行，，那么________。【解析】由沙漏模型得，再由金字塔模型得．-.word.zl.-.【例1】如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米。那么的面积是平方厘米。【解析】因为，，与平行，根据相似模型可知，，平方厘米，那么平方厘米，又因为，所以(平方厘米)．【例2】在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？【解析】连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍。【例3】如图，线段与垂直，，，那么图中阴影局部面积是多少？【解析】

5、-.word.zl.-.解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线，那么图形关于对称，有，，且．设的面积为2份，那么的面积为3份，直角三角形的面积为8份．因为，而阴影局部的面积为4份，所以阴影局部的面积为．解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知，根据梯形蝴蝶定理，，所以，即；又，所以．【例1】(年第二届两岸四地〞华罗庚金杯〞少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，那么四边形的面积________．【解析】因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形

6、．，那么，所以．又，所以，根据沙漏模型，，所以．【例2】三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影局部的面积．【解析】，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且．-.word.zl.-.又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么．【例1】正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长．【解析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为．方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得【例2】如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，

7、要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？【解析】观察图中有金字塔模型个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米．【稳固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽．-.word.zl.-.【解析】观察图中有金字塔模型个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，那么，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米．【例1】图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成

8、一个三角形，这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？【解析】根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做垂直于，交于．因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为，