任意角三角函数的概念-陶维林

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1、学习必备欢迎下载教学设计任意角三角函数的概念一．内容和内容解析三角函数是同学将要学习的又一个基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相像形和圆，争论方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的争论已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩展到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必需有所扩展．任意角三角函数概念的显现是角的概念进展的必定结果．比较锐角三角函数与任

2、意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标以及坐标的比值来表示任意角的三角函数．这样做，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为它的性质的争论带来了便利．从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩展的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三

3、角函数的概念．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是争论三角函数在各象限中的符号、特别角的三角函数值，仍是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．由于正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．任意角三角函数自然具有函数的一切特点，有它的定义域，

4、对应法就以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是由于，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法就，因而可能有不同的定义域与值域．在建立任意角三角函数这个定义的过程中，同学可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析本节课的目标是，懂得任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．同学已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，明白三角函数是直角三角形中边长的

5、比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．懂得任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展到点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数懂得得怎样，对懂得任意角三角函数有打算意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的懂得是必要的．要实现让同学“懂得”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让同学参加任意角三角学习必备欢迎下载函数定义的过程．让同学感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函

6、数是锐角三角函数概念的自然延长．让同学参加定义，感受任意角三角函数定义的合理性，感受到这个定义是自然的．既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应当是任意角三角函数的特别情形，是一个包含关系．三．教学问题诊断分析从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构进展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特别到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包涵性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让同学“再制造”抽象程度高的上位概念（参加定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概

7、念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．同学过去在直角三角形中争论过锐角三角函数，这对争论任意角三角函数在熟悉上会有肯定的局限性，所以同学在用角的终边上的点的坐标来争论三角函数可能会有肯定的困难．可以让同学在原有的对锐角三角函数的几何熟悉的基础上，尝试让同学建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．由于同学刚刚接触弧度制，未必能懂得“把角的集合与实数集建立一一对应”究竟是为了什么．可以在π

8、复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，2）内的角，以便分散这个难点．四．教学支持条件分析利用几何画板软件，可以动态转变角的终边位置，从而转变角的终边上点的坐标大小的特点，便于同学熟悉任意角的位置的转变，所对应的三角函数值也转变的特点