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1、.-平面向量的积【教学目标】知识目标：〔1〕了解平面向量积的概念及其几何意义.〔2〕了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定根底.能力目标：通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积．在讲述向量积时要注意：〔1〕向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的
2、值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；〔2〕向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：〔1〕当＝0时，a·b＝
3、a
4、
5、b
6、；当＝时，a·b＝－
7、a
8、
9、b
10、．可以记忆为：两个共线向量，方向一样时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数．〔2〕
11、a
12、＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的根底；〔3〕cos＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量
13、所成角的公式的根底；〔4〕“a·b＝0ab-.word.zl.-〞经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要根底．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*提醒课题7.3平面向量的积*创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位
14、向量为i，垂直方向的单位向量为j，那么i+yj，即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即-.word.zl.-W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500〔J〕OxijF(x,y)yBAO图7－23ab这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a
15、与向量b的夹角，记作．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的积，记作a·b,即a·b＝｜a
16、
17、b
18、cos (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当＝0时，a·b＝
19、a
20、
21、b
22、；当＝时，a·b＝−
23、a
24、
25、b
26、.（2）cos＝.（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝
27、a
28、
29、a
30、＝
31、a
32、2，即
33、a
34、＝.（4）当时，ab，
35、因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有-.word.zl.-a·b＝0ab.可以验证，向量的积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的积不满足结合律，即a·(b·c)≠〔a·b〕·c.请结合实例进展验证.*稳固知识典型例题例1
36、a
37、＝3,
38、b
39、＝2,＝,求a·b．解a·b＝
40、a
41、
42、b
43、cos＝3×2×cos＝3．例2
44、a
45、＝
46、b
47、＝,a·b＝,求．解cos＝＝＝−.由
48、于0≤≤，所以＝．*理论升华整体建构思考并答复下面的问题：平面向量积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的积，记作a·b,即a·b＝｜a
49、
50、b
51、cos(7.10)a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．知识典型例题-.word.zl.-例3求以下向量的积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；运用知识强化练习1.
52、a
53、＝7，
54、b
55、＝4，a和b的夹角为，求a·b．2.a·a＝9,求
56、a
57、．3.
58、a
59、＝2,
60、
61、b
62、＝3,＝，求(2a＋b)·b．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又
63、i
64、＝
65、j
66、＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2
67、j
68、2＋y1y2
69、j
70、2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(
