2-7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

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1、一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩三、向量组方面的一些重要方法下页第7节矩阵的秩及向量组的极大无关组求法①向量组的秩的计算方法②极大无关组的确定方法③用极大无关组表示其它向量的方法注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.定义1设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列式，称为A的k阶子式.如矩阵第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为三阶子式共有4个下页7.1矩阵的秩的概念定义2若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，

2、记作r(A).规定零矩阵的秩为零.易见：（1）若A是m╳n矩阵，则r(A)≤min{m,n}.（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零，则r(A)≥r；若所有r+1阶子式全等于零，则r(A)≤r.（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）对n阶方阵A，若

3、A

4、≠0，则r(A)=n,称A为满秩矩阵;若

5、A

6、=0，则r(A)<n,称A为降秩矩阵.结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.下页例1.求下列矩阵的秩.解:C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即但二阶子式所以下页定理1初等变换不改变矩阵的秩.定义3满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简

7、称阶梯形矩阵：（1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行称为零行，否则称为非零行)；（2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加.如下页7.2初等变换求矩阵的秩定理2任何一个秩为r的矩阵A=(aij)m╳n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r.即结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.下页例2.求矩阵的秩.下页所以，r(A)=3.解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵下页例3.设方阵判断A是否可逆.解法1:因为,所以，A满秩(可逆).解法2:用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得所以r(A)=3，A满秩，故A可逆

8、.下页定义4矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.即下页7.3向量组方面的一些重要方法行向量组a1，a2，，am的秩，称为矩阵A的行秩.列向量组b1，b2，，bn的秩，称为矩阵A的列秩.定理3矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.求向量组的秩的方法下页①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为阶梯

9、形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a