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时间：2021-11-21
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1、二、无穷小量阶的比较§5无穷大量与无穷小量由于 等同于因分析”.相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四、渐近线三、无穷大量一、无穷小量返回一、无穷小量定义1则称f为显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:小量.其中为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)同一变化过程证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质1可由极限的四则运算性质直接得到.无穷小量.下面对性质２加
2、以证明.除0以外任何很小的常数都不是无穷小!例如:应当注意,下面运算的写法是错误的：在近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.例如：或者g(x)是f(x)的低阶无穷小2.若存在正数K和L，使得在x0的某一空心邻域内，有根据函数极限的保号性，特别当时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如:与
3、是同阶无穷小量;则称与是时的同阶无穷小量.当时，x与是同阶无穷小量.3.若两个无穷小量在内满足:则记当时，x与是同阶无穷小量.我们记应当注意，若为时的同阶无穷小量，当然有反之不一定成立,例如但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：这里的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数．例如表示 的所有高阶无穷小量的集合．等价无穷小量，记作也就是说，这里的“=”类似于根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是,并这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如与均为时的无穷小量,却不能按照前面讨论的方式进行阶
4、的比较.这是因为是一个无界量，并且～～定理1.证:即即例如,～～故机动目录上页下页返回结束定理3.12设函数f,g,h在内有定义,且证所以定理3.12告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例1解所以(2)可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.例2解有定义,若对于任给定义2设函数f在G>0,存在>0，使得当则称函数f(x)当xx0时为无穷大量,记作时,有三、无穷大量记作请读者自行写出它们的定义.无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量:穷大量.证这里仅证明定理的(1).对于任意正数G,因为这就证明了的无穷小
5、量.f为xx0时
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