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时间：2021-11-22
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1、一、定义二维波动方程：高维波动方程三维波动方程：膜振动（自由）膜振动（强迫）边界条件分类：第二类边界条件：（给出沿外法向方向导数值）第三类边界条件：（给出与的线性组合的值）第一类边界条件（直接定义u在边界上的值）二、球平均法求解三维波动方程Cauchy问题：设，方程化为再设，化为为一维柯西问题，可用达朗贝尔公式求解（Ⅰ）定理：设那么（1）式存在唯一的解：其中为以M为球心，at为半径的球面泊松公式例：已知求初值问题（1）解。解：（由泊松公式）设二、降维法求解二维波动方程Cauchy问题：（2）设与无关，满足由泊松公式将积分化为在z=常数上的投影或化为极坐标：二维
2、泊松公式四、泊松公式解的物理意义：依赖区域1.二维情形：由二维泊松公式，对点，依赖于内，即，为的依赖区域，此区域的决定区域为：二维波动方程特征解的影响区域为：与距离为的点，经后开始受到扰动影响，随着时间推迟，这种影响并不消失。考察：若初始扰动在平面上，一个有界区域中，观察区域外。记与最近距离为，则时，函数未受到影响。当时，点处开始受到扰动的影响，且不会消失。因此，局部范围内的初始扰动，具有长期的后效现象。且逐渐上升，扰动逐渐减小，愈来愈弱，称为波的弥漫。2.三维情形（仿照二维）：的依赖区域：它的决定区域：初始平面上一点的影响区域为锥面：克里斯蒂安·惠更斯惠更斯
3、：(ChristianHuygens，1629—1695)荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。克里斯蒂安·惠更斯是与牛顿同一时代的科学家，是历史上最著名的物理学家之一，他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓者。惠更斯原理：的影响区域时为：为一个以为中心，半径为的球面，随着增加，扰动面以在扩大。对一点，若与距离为，只有时，受到扰动影响，过后恢复常态。考察：某有界区域中扰动的传播。任意一点处，经时间后，影响区域
4、为以为中心，为半径的球面上。所有这些球面的外包络面称为传播波的前阵面。
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