7.1达朗贝尔公式

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1、MethodsofMathematicalPhysics武汉大学物理科学与技术学院WuhanUniversity问题的引入：*数理方法研究问题的步骤⎧写出定解问题√⎪⎨求解?⎪分析解答?⎩1、抖动的绳子－一维进行波；2、投石入水－二维进行波；3、灯塔上发出的灯光－三维进行波；进行波－一往无前向前传播的波。行波法－研究行进行波的方法。WuhanUniversity第七章行波法travellingwavemethod中心：用行波法求解无界空间波动问题。目的：1、掌握行波法解题要领及全过程；2、熟练地运用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题；3、掌握三维问题化为一维问题的平均值

2、法。4、掌握三维波动方程的解－泊松公式及推迟势的应用。WuhanUniversity第七章行波法travellingwavemethodWuhanUniversity第七章行波法travellingwavemethod§7.1达朗贝尔公式D’Alembertformula物理模型：无界弦的自由振动WuhanUniversity一、定解问题：§7.1达朗贝尔公式2⎧u=au,−∞<x<∞)1(ttxx⎪⎨u

3、t=0=ϕ(x,)−∞<x<∞)2(⎪u

4、=ψ(x),−∞<x<∞)3(⎩tt=

5、0二、求解：1、思路：仿照求解常微分方程的先求通解，再用初始条件求特解的方法。WuhanUniversity二、求解§7.1达朗贝尔公式2、引入坐标变换求（1）的通解：选择⎧ξ=(x+at)即：⎧x=2/1()(ξ+η)⎨⎨⎩η=(x−at)⎩t=2/1(a)(ξ−η)2则方程（1）化为：∂u(ξ,η)=0)1(′∂ξ∂ηu(ξ,η)=f(ξ)+f(η))4(12通解：u(x,t)=f(x+at)+f(x−at)(5)12WuhanUniversity二、求解§7.1达朗贝尔公式3、用初始条件定特解：2⎧u=au,−∞<x<∞)1(ttxx

6、⎪⎨u

7、t=0=ϕ(x,)−∞<x<∞)2(⎪u

8、=ψ(x),−∞<x<∞)3(⎩tt=0u(x,t)=f(x+at)+f(x−at)(5)121u(x,t)=[ϕ(x+at)+ϕ(x−at)21x+at+∫ψ(α)dα)6(2ax−at－D’Alembert公式WuhanUniversity三、分析解答：§7.1达朗贝尔公式1、适定性：（1）达朗贝尔公式存在。au=[ϕ′(x+at)−ϕ′(x−at)]t21x+at∂ψ+[∫dα+a⋅ψ(x+at)+aψ(x−at)]2ax−at∂t2aau=[ϕ′′(x+a

9、t)+ϕ′′(x−at)]+[ψ′(x+at)−ψ′(x−at)]tt2211u=[ϕ′(x+at)+ϕ′(x−at)]+[ψ(x+at)−ψ(x−at)]x22a11u=[ϕ′′(x+at)+ϕ′′(x−at)]+[ψ′(x+at)−ψ′(x−at)]xx22aWuhanUniversity三、分析解答：§7.1达朗贝尔公式1、适定性：（2）任意性已由初始条件唯一确定。（3）稳定性：设⎧ϕ1(x)⎧ψ(x)u

10、=⎨1ϕ−ϕ≤δ,ψ−ψ≤δt=0(x);ut

11、t=0=⎨;1212ϕ⎩2ψ(x)⎩21u−u≤ϕ(x+at)−ϕ(x+at)+ϕ(x−at)−ϕ(x−at)

12、12121221x+at+[ψ(α)−ψ(α)dα∫122ax−at111≤δ+δ+δ[x+at+x−at]=δ1[+t]222a结论：达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。即，适定.WuhanUniversi