第二十章-曲线积分

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1、第20章曲线积分§20.1第一型曲线积分习题解答1计算下列第一型曲线积分．∫(x+y)ds(1)L，其中L是以O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)yB(0,1)为顶点的三角形．解：由题设知L=L1+L2+L3，L2L3⎧x=xL1xL:⎨x∈[0,1]1⎩y=0O(0,0)A(1,0)其中，⎧x=x⎧x=0L:⎨x∈[0,1]L:⎨y∈[0,1]23⎩y=−1x⎩y=y，．所以∫L(x+y)ds=∫L(x+y)ds+∫L(x+y)ds+∫L(x+y)ds123111=∫xxd+∫2dx+∫yyd=+12000．22∫x+yds(2)L，其中L是以原点为中心，R为半径的

2、右半圆周．y解：右半圆周L可表为R⎧x=Rcosθππ⎨−≤θ≤⎩y=Rsinθ22，ORx22∫x+yds于是L−Rπ222222=RRsinθ+Rcosθθd=πR∫π−2．22xy∫xysd2+2=1(3)L，其中L是椭圆ab在第一象限的部分．yx2y2b+=122解：椭圆ab在第一象限的部x⎧xa=cosθπL:⎨0≤≤θOa⎩yb=sinθ2分可表为，于是当ab=时，π3213∫xysd=a∫sincosdθθθ=aL02．当ab≠时，-1-π22222∫xysd=ab∫sincosθθasinθ+bcosθθdL0π1222222=ab∫(a−b)sinθ+b

3、d(sinθ)20π32ab22222=⎡(a−b)sinθ+b⎤22⎣⎦3(a−b)022aba(+abb+)=3(ab+)．两个结果是相同的．∫ydsx2+y2=1(4)L，其中L是单位圆的圆周．22yx+y=11解：单位圆的圆周⎧x=cosθL:⎨0≤≤θ2π⎩y=sinθx分可表为，−1O1于是2π22−1∫yds=∫sinθsinθ+cosθθdL0=4．(x2+y2+z2)dsz(5)∫L，其中L为螺旋线Ba(,0,2πb)x=acos,ty=asin,tz=bt，(0≤≤t2)πO的一段．y222xAa(,0,0)∫(x+y+z)ds解：L2π222222=

4、∫(a+bt)(−asin)t+(cos)at+bdt02π22⎛2123⎞=a+b⎜at+bt⎟⎝3⎠02π22222=(3a+4πb)a+b3．2312∫xyzsdxty=,=2,tz=t(0≤≤t1)(6)L，其中L为32曲线的一段．123122∫xyzsd=∫t⋅2t⋅t12+t+tdt解：L0329212162=∫t(1+t)dt=30143．22∫2y+zdsx2+y2+z2=a2x=y(7)L，其中L为球面与平面相交的圆周．-2-⎧asint⎪x=y=⎨2⎪⎩z=acost解：曲线L可表为，2π222222∫2y+zds=∫aasinθ+acosθθd于是L

5、02=2πa．12z2ρ=x=ay,=atz,=at(0≤≤t1,a>0)2求曲线2的质量，其中线密度为a．2z1222m=∫ds=∫ta+atdt解：La0a122a=∫1+td(1+t)=(221)−203．⎧x=at(−sin)t⎨(0≤≤tπ)⎩y=a(1cos)−t3求摆线的重心，设其质量分布均匀．ρ=1解：因为质量分布均匀，所以可设密度函数．2222tds=a(1cos)−t+asinttd=2sindat而2，π2222M=∫a(1cos)−t+asinttd于是0πt=2a∫sindt=4a02．11πtx=∫ysd=∫a(1cos)2sin

6、d−tatMLM02π3tπ⎛2t⎞⎛t⎞=a∫sindt=−2a∫⎜1cos−⎟⎜dcos⎟020⎝2⎠⎝2⎠π⎛t13t⎞4a=−2a⎜cos−cos⎟=⎝232⎠03．11πty=∫xsd=∫at(−sin)2sindtatMLM02aπtaπt4a=∫tsindt−∫sinsindtt=2022023．⎛4a4a⎞⎜,⎟故重心坐标为⎝33⎠．ρ=ρ