高中数学《数列》知识点复习归纳及例题分析

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1、《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1.归纳通项公式：注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式：(1)0，-3,8，-15,24，.......(2)21,211,2111,21111,......(3)2.与的关系：注意：强调分开，注意下标；与之间的互化（求通项）例2：已知数列的前项和，求.3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）例3：已知数列满足，，求.二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等

2、差数列等比数列定义（是常数，…）（是常数，且，，…）通项公式推广：推广：求和公式中项公式（）（）重要性质1、等和性：（）2、（第二通项公式）及3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）4、成等差数列5、是等差数列1、等积性：（）2、（第二通项公式）及3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）4、成等比数列。（仅当公比且为偶数时，不成立）等价条件1.定义：an－an－1＝d(n≥2)是等差数列2.等差中项：2an＋1＝an＋an＋2是等差数列3.通项公式：（为常数）1.定义：(n≥2)是等比数列2.等比

3、中项：是等差数列4.前项和：（为常数）是等差数列是等比数列3.通项公式：（且为常数）是等比数列4.前项和：（且为常数）是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。例题：例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明　∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解　由(1)知，bn＝n

4、－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1(2)求d的取值范围．解　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所

5、以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2.方法二　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{

6、an

7、}的前n项和．解　方法一　∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝

8、－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.方法二　同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{

9、an

10、}的前

11、6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而

12、a7

13、＝a7＝4×7－24＝3.设{

14、an

15、}的前n项和为Tn，则Tn＝＝例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3例8等差数列的前n项和分别为，且,则使得为正整数的正整数n的个数是3.（先求an/bnn=5,13,35）例9已知数列中，，当时，其前项和满足，则数列的通项公式为例10在数列中，，，则.例11设的等比中项，则a+3b的最大值为2.例12若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,