由递推式求通项公式方法总结

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1、由递推式求通项公式、数列求和方法总结一、叠加法1.适用于:----------这是广义的等差数列累加法是最基本的两个方法之一。若,则相加得例1已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。二、叠乘法1.○。------------适用于:若,则两边分别相乘得,8例2.已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,三、待定系数法适用

2、于1.形如,其中)型(1)若c=1时,数列{}为等差数列;(2)若d=0时,数列{}为等比数列;(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以即:.8规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式例3.已知数列中,,求数列的通项公式。解:又是首项为2,公比为2的等比数列,即2.形如:(其中q是常数,且n0,1)①若p=1时,即:,累加即可.②若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以.即:,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以.目

3、的是把所求数列构造成等差数列。即:,令,则可化为.然后转化为线性递推来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等比数列8设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例4已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以):两边同时除以得:,解法略解法三(同除以)两边同时除以得:,解法略练习.已知数列中,,,求。解:在两边乘以得:令,则,应用例7解法得:所以3.形如(其中k,b是常数,且)通过凑配可转化为;解题基本步骤:1、确定=kn+b2、设等比数列

4、,公比为p83、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例5在数列中,求通项.(逐项相减法)解:,①时,,两式相减得.令,则即②再由累加法可得.亦可联立①②解出.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例6已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0,8例7.设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴六、逐差法2(逐项相减法)1、递推公式中既有,又有分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系。例8已知数列的各

5、项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。解:∵对任意有⑴∴当n=1时,,解得或当n≥2时,⑵⑴-⑵整理得:∵各项均为正数,∴当时,,此时成立当时,,此时不成立,故舍去8数列求和1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式:(2)等比数列的求和公式2.公式法:1+2+3…+n=如:3.错位相减法:比如例1.已知,求数列{an}的前n项和Sn.例2.已知数列,求前n项和。思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。解:当当84.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。例3.求和

6、思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。例4、求和:解:6.合并求和法:例5.求的和。7.倒序相加法:例6.求的和。8

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