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1、第六章多元函数微积分一、考核内容Ⅰ、知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。Ⅱ、知道偏导数的概念及偏导数与一元函数的导数的关系。知道全微分的概念及二元函数可微的条件。Ⅲ、熟记复合函数中下列三种类型的复合函数求导法则：Ⅳ、了解隐函数，掌握由一个方程确定的一元或二元隐函数求导法则Ⅴ、知道二阶偏导数的的概念，会求初等函数的二阶偏导数。Ⅵ、知道二元函数取得极值的充分必要条件，会求二元函数的极值，并会解决比较简单的应用问题。Ⅶ、知道二重积分的概念和几何意义，会在直角坐标系下将二重积分化为两次定积分，并会计
2、算二重积分。二、基本概念、重要定理和公式、典型例题Ⅰ空间直角坐标系简介（1）空间直角坐标系在空间取一点o，过o作三个互相垂直的数轴ox，oy，oz两两互相垂直构成空间直角坐标系。过空间中任一点P分别作oxy平面及oz轴的垂线并交于xy平面于点，交oz轴于点R，若在平面上的坐标为（x,y），R在轴上的坐标为，就说点P在空间直角坐标系中的坐标为（x,y,z），记作P（x,y,z），其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫立坐标。（2）空间中的平面方程若动点P（x,y,z）的坐标满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0则
3、动点P（x,y,z）的轨迹是空间的平面，反之，若动点P（x,y,z）的轨迹是空间的平面，则动点P（x,y,z）的坐标必满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0所以得到下面的结论：在空间，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示空间的平面，记作π三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的系数不能同时全为0特别情形：①当D=0时，方程Ax+By+Cz+D=0表示平面经过原点O（0,0,0）。②A=0时，By+Cz+D=0方程表示平面π平行于x轴；B=0时，方程Ax+Cz+D=0表示平面π平行于y轴；C=0时，方程A
4、x+By+D=0表示平面π平行于z轴。例如方程x+y-2=0在空间表示平面而不是直线，而且该平面平行于z轴，其图形如图所示：例如：x-2=0在空间不是直线，而是平行于yz平面的平面（见下图示）z-2=0在空间也是平面，它平行于xy平面（见下图示）（3）空间的曲面由等式F（x,y,z）=0确定的空间动点的轨迹是空间的曲面。特别情形：①方程，确定的空间的动点的轨迹是以点为中心，R为半径的球面。表示以原点O为中心，R为半径的球面。③方程F（x,y）=0表示空间中以xy面上的曲线为准线，母线平行于z轴的柱面。例如：
5、表示以xy面上的圆为准线，母线平行于z轴的圆柱面；（图形见下图）；又如：表示空间中以抛物线为准线，母线平行于z轴的抛物柱面。（图形见下图）。④旋转曲面：方程表示空间中心以yz面上的曲线绕z轴旋转而生成的旋转曲面。例如①表示空间中以yz面上的抛物线y2=2pz绕z轴旋转而生成的旋转抛物面（见下图）②表示空间中以yz面上的直线z=y绕z轴旋转而生成的旋转锥面（见下图）同学们要特别注意：在空间：一个方程F（x,y,z）=0表示曲面，而绝不是曲线。（Ⅱ）二元函数的的概念定义：设有两个独立的变量x和y在给定的区域D中
6、任取一值时，变量z按某一法则有唯一确定的值与之对应，就说变量z是变量x和变量y的二元函数，记作：z=f（x,y）其中x,y叫自变量，z叫因变量或函数。自变量x,y的取值区域D叫定义域。例一：求下列函数的定义域，并画出它们的图形在平面直角坐标系中它是以原点为圆心，半径为R，包括边界的圆，其图形见上图。在平面直角坐标系中，它是以原点为中心，半径为R的不包括边界的圆，其图形见上图。在平面直角坐标系中，它表示位于直线x+y=0的右上方的不包括直线x+y=0的半平面，其图形见上图。如果一个平面连通区域包含边界，就说该
7、区域是闭的，如果平面区域不包含边界，就说该区域是开的。如果平面连通区域中任意两点的距离都小于某常数M，就说该区域是有界（限）的，否则就说该区域是无界（限）的。显然，在上例中（1）的图形是有界闭区域；（2）的图形是有界开区域；（3）x+y>0的图形是无界开区域。定义：若点P（x,y）以任何方式与定点无限接近时，二元函数f（x,y）的值与二元函数f（x,y）在点的值无限接近时，即就说二元函数f（x,y）在点连续与一元函数相似，二元初等函数在它的定义域内处处连续。定理：二元初等函数在它的定义域内处处连续Ⅱ二元函数
8、的偏导数和全微分（1）二元函数的偏导数定义：设点是二元函数z=f（x,y）在其定义域内的一点，把变量y固定在时而将x逐渐接近于，设，△x→0当时若极限存在，就说此极限是二元函数z=f（x,y）在点处对x的偏导数，记作同样，若将x固定在，而让y与无限接近，时，若极限存在，就说此极限是二元函数z=f（x,y）在点对变量y的偏导数，记作：若二元函数f（x,y）在点处的两个偏导数都存在，就说二元函数f（x,y）在点处可导
