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1、多面体外接球6.求多面体的外接球半径一般需确定球心的位力；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体〃补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。［举例1］三棱锥P-ABC中，PA，平面ABC,AB±BC,若PA=AC=Z则该三棱锥的外接球的体积是O解析：思路一：“找球心”（到三棱锥四个顶点距离相等等的人点）。注意到PC是Rt/PAC\和Rt/PBC的aQv>d公共的斜边，记它的中点为万0,则0A=0B=0P=0CTPC=L即该三棱锥2的外接球球心为0,半径为b故它的体积为：9［举例2］正四棱锥P-ABCD的
2、五个乡三AD方法二「补体”,将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线pc是其外接球的/i直径。顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2的，则这个球的表面积为O解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高P01上，记为0,P0=A0=R,P0］=4,00fR-4,或001=4-R（此时0在POi的延长线上），在Rt/A0Q中，R2=8+（R-4）2得R=3,，球的表面积S=36万［巩固1］如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6〃八4田和3e，那么它的外接球的体积是［巩固2］一个正三棱锥的四个顶点都在
3、半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大上，则该正三棱锥的体积是：（（07高考陕西理6）（A）孚（B）孚（0孚（D）第［迁移］点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是8.球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为垃a;边长为a的正四面体的内切球的半径为噂〃（正四面体高的：），外接球的半径为V6——a4［举例］已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球
4、O,经过该棱锥A・BCD三侧棱中点的截面为0,则O到平面°的距离为解析：记棱锥A-BCD的高为AOi,O在AOi上且OO尸LAOi；AOi与面a交于M,贝4MOi=lAOi,故MO=AOi=,L［巩固UP在面ABC上的射影为O,则OA=OB=OC=OP=R,s^c=i^sinc=^3/=等=10,故选B；［巩固2］①④；2、［巩固］45°；3、［巩固111：2；［巩固2］B；4、［巩固］及；5、［巩固］3：16；6、［巩固1］与。，O[巩固2]C,［迁移］设三条弦长分别为x,2x,y,贝!：X2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参
5、数方程求3x+y的最大值为窄；7、［巩固］B；8、［巩固］C四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为C,则体对角线长为/="/+/，+/,几何体的外接球直径2H为体对角线长/即f【例题】:在四面体ABC。中，共顶点的三条棱两两垂
6、直，其长度分别为1,遍，3,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4R2=AB2+AC2+AD24R2=12+32+V6=16所以R=2球的表面积为S=4成2=16几二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球。的球面上，且丛=7,PB=5,PC=5,AC=10,求球。的体积。解：A3_L8C且PA=7,PB=5,尸。=局，AC=
7、10,因为7?+同'=102所以知AC?=04+尸。2所以PAVPC所以可得图形为：「在RtAABC中斜边为AC厂在RtNPAC中斜边为AC、取斜边的中点。，/Q、在RtAABC中OA=OB=OCA—c在RMAC中op=ob=oc所以在几何体中OP=OB=OC=OA,即。为该四面体的外接球的球心r=_LaC=5所以该外接球的体积为V=［成3=W【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解解：由已知建立空间直角坐标系【例题】：已知在三棱锥A-8c。中，ADY^i
8、ABC,ZBAC=120°,AB=AD=AC=2t求该棱锥的外接球半径。74(0,OQ)8(2,0。)0(0,0,2)由平面知识得C(-1，V3,O)设球心坐标为O（x,y,Z）则AO=8O=CO=ZX>,由空间两点间距离公式知x2+y2+z2=(x-2)2+y
