电磁场电磁波期末复习题

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1、1-5设标量，矢量，试求标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度那么，在点处F的梯度为因此，标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数为1-8若标量函数为试求在点处的梯度。解已知梯度，将标量函数F代入得再将P点的坐标代入，求得标量函数F在P点处的梯度为1-22已知圆球坐标系中矢量，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求及，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，eq，ef均为变矢，所以不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为将矢量A的各个分量代入，求得。矢量A的旋度为利用矢量A在直角坐标系和

2、球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，，求得该矢量在直角坐标下的表达式为利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系求得其在圆柱坐标下的表达式为。1-23若标量函数，，，试求，及。解1-24若试求，及。解①；；；②；（此处利用了习题26中的公式）③；；将矢量的各个坐标分量代入上式，求得2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-7xyzProadly解建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生的

3、合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为2-10已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x=0及x=1平面，试求及区域中的电场强度。解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x=0平面内的无限大面电荷，在x<0区域中产生的电场强度，在x>0区域中产生的电场强度。位于x=1平面内的无限大面电荷，在x<1区域中产生的电场强度，在x>1区域中产生的电场强度。由电场强度法向边界条件获知，即由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为2-17若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径

4、为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图2-17obaPrdr¢o¢解此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量，再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18已知介质圆柱体的半径为a，长度为l，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为，试求介质中束缚xyza习题图

5、2-18Ply电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。解建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为的圆盘在其轴线上的电场强度为因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为2-19已知内半径为a，外半径为b的

6、均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。解先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为在区域中，电场强度为再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q1q2q2e0e0E习

7、题图2-20E2en2en1解根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得；已知，那么由上式求得已知介质表面的束缚电荷，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为2-28一平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为。试求：①接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能；②断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。dl/2KVl/2ee0习题图2-28解①接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外的电场强度是相等

8、的，即电场强度为。但是介质内外的电通密度不等，介质内