二重积分35807

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除8.6二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。一．二重积分的概念引例1曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里，且在D上连续（如图所示）。这种立体称为曲顶柱体。现在我们来讨论它的体积。关于曲项柱体，当点在区域D上变动时，高是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。不难

2、想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。(1)分割：我们用一曲线网把区域D任意分成n个小区域小区域的面积也记作。以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n个细条的小曲顶柱体。它们的体积分别记作(2)近似代替：对于一个小区域，当直径（最长两点的距离）很小时，由于连续，在中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点，则当时，有，从而以为底的细条曲顶柱体可近似地看作以为高的平顶柱体（如图所示）于是(3)求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值加起来，就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交

3、流，如有侵权请联系网站删除(4)取极限：一般地，如果区域D分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V，当把区域D无限细分时，即当所有小区域的最大直径时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V，即引例2非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度是点的函数，即在D上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即为常数，则质量M等于面密度乘以薄片的面积。当质量分布不均匀时，是随点而变化，如何求质量呢？我们采用与曲顶柱体的体积相类似的方法求薄片的质量。(1)分割：把区域D任意分成n个小区域小区域的面积也记作。该薄板就相应地分成n个小块薄板。(2)近

4、似代替：对于一个小区域，当直径很小时，由于连续，在中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点，则当时，有，从而上薄板的质量可近似地看作以为面密度的均匀薄板，于是(3)求和：把这些小薄板质量的近似值加起来，就得到所求的整块薄板质量的近似值，即(4)取极限：一般地，如果区域D分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的质量M，当把区域D无限细分时，即当所有小区域的最大直径时，则和式的极限就是所求的非均匀平面薄板的质量M，即上面两个例子的意义虽然不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求二元函数的某种和式的极限，我们抽去它们的几何或物理意义，研究它们的共性

5、，便得二重积分的定义．定义设函数在闭区域D上有定义，将D任意分成n个小区域其中表示第个小区域，也表示它的面积。在每个小区域【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除上任取一点，作乘积，并作和式，如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域D的分法无关，也与每个小区域中点的取法无关．则称此极限值为函数在闭区域D上的二重积分，记作，即其中叫做二重积分号，叫做被积函数，叫被积表达式，叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域。注意（1）二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数及积分区域

6、D有关，而与积分变量的记号无关，即有（2）只有当和式极限存在时，在D上的二重积分才存在，称在D上可积。（3）二重积分与区域D的分法无关，也与每个小区域中的点的取法无关．二元函数在D上满足什么条件时，函数才可积呢？现在给出在D上可积的充分条件。二重积分存在定理如果函数在闭区域D上连续，则函数在闭区域D上可积，即二重积分存在。今后，如不作特别声明，我们总是假定函数在D上连续，因而在D上的二重积分总是存在的。【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除由二重积分的定义，可知曲顶柱体的体积V是曲面在底D上的二重积分，即非均匀平面薄板的质量M是

7、面密度在薄片所占闭区域D上的二重积分，即二重积分的几何意义当函数时，二重积分表示以为曲顶、D为底面、母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。若，则的绝对值等于曲顶在平面下方的、底面为D、母线平行于z轴的曲顶柱体的体积，但二重积分为负值。当在D上的符号可能为正，也可能为负时，如果能将D分为有限个小区域，在每个小区域内符号不改变，则表示以为曲顶，以区域为底的各小曲顶柱体体积的代数和。二．二重积分的性质比较一元函数的定积分与二重积分的定义可知，二重积分与定积分有完全类似的性质。假设二元函数，在积分区域D上都连续，因而它们在D上的二重积分是存在的。性质1被积函数的常数因子

8、可以提到二重积分号的外面，即性质2函数的和（或差）的二重积分等于各