-二重积分计算

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1、§10.2二重积分的计算直算常难，化为两次定积分—累次积分。一、应用直角坐标计算二重积分（1）为型区域,连续。再设在有界闭域上连续，则暂定à先对积分à再对积分。（证略）。因=曲顶柱体的体积，故可先“片面”后累加。第26页共26页任取定后，可得，再得：。注：积分限--由小到大，后面类似。前式也可第26页共26页（2）为型区域对连续，则暂定à先对积分à再对积分。（3）是型、也是型区域，依简算之。第26页共26页特别，为矩形区域：，则有（4）非型、也非型区域，分割为小型、小型区域，分别算之，再加之。注：中交点至多两点，边交点--可点、线段

2、。例1计算。是由及所围区域。解宜将看作型区域第26页共26页。故。例2求，其中：，。解若看作型区域，有第26页共26页。若看作型区域，有。例3求,及所围第26页共26页解若看作型区域：，则。（易）若按型区域积分，则需把分成和三个区域：，，第26页共26页。因此。（较繁）例4求：及所围区域。第26页共26页解若将看作型区域：，则凑分、换元、分部积分得：。若把看作型区域，则，于是。第26页共26页因无初等原函数，故无法继续用初等函数来计算。例5改变二次积分的积分次序。解还原二重积分：还原积分域：－型区域；把表示成型区域。第26页共26页

3、从而得：二、应用极坐标计算二重积分（的边界为极坐标关系方程）1．基本推导用=常数的一族同心圆、=常数的一族射线，分为个小区域用符号即表区域，也表的面积，则第26页共26页其中，在可积下，的分法和点的取法无关，故可，于是。第26页共26页记，设连续à连续函数，故上式看作关于的二重积分，即，从而有。（：极坐标系中的面积元素）2．极坐标的累次积分（1）为－型区域（大多是这种）第26页共26页暂定à对积分à对积分，即（2）为－型区域暂定à对积分à对积分，即第26页共26页（3）的边界过，则（4）内含，。则第26页共26页特别为圆：，则注：通

4、常，若积分区域为圆形、环形区域（或部分）、被积函数形如时，用极坐标计算较为方便。例6求，：。解在极坐标系中，，第26页共26页否则，要把分成四个小区域，每个小区域上将会遇到十分复杂的计算。例7求由球面与柱面（）所围成的立体的体积。解由对称性可得第26页共26页，,边界过，故。第26页共26页例8求，：，并由此证明。（概率积分，此前不好积）解视为型，得另设，则有：。由于，第26页共26页其中为正方形，另外四分之一圆域如右图，则，故。由例8得：，令得。例9求双纽线所围成的平面区域的面积。解由对称性，可得第26页共26页，，从而三*、二重

5、积分的一般换元法实为坐标变换：，。这里变换是一一对应的，所以有：圆域ßà矩形域。第26页共26页一般变换有如下结论。定理设在平面的闭区域上连续，变换将平面上的闭区域变为平面上的闭区域，第26页共26页且(1)在上有一阶连续偏导数；(2)在上雅可比行列式(3)变换：是一对一的，则有称为二重积分换元公式。例10求,是由x轴、y轴和直线所围。第26页共26页解这里,令，则。于是，上的的边界ßà上的边界：由，和围成。将看成v-区域。而第26页共26页。由变换公式得。第26页共26页作业P1271（1、3），2（1、3、5），3（1、3），4

6、（1、3、5、7），5（1、3）；第26页共26页