动点的轨迹问题

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力

2、，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从

3、曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参

4、数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6.转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨

5、迹方程。此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。二、注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.【精品文档】第8页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不

6、在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例题选讲】一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则。设，则化简得（1）当时，方程为，表示一条直线。（2）当时，方程化为表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式--如图，圆与圆的半径

7、都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以的中点O为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知可得：因为两圆的半径均为1，所以设，则，即所以所求轨迹方程为：（或）评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。【精品文档】第8页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定

8、义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2已知A、B、C是直线l上的