多面体外接球

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。[举例1]三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=，则该三棱锥的外接球的体积是。解析：思路一：“找球心”（到三棱锥ACPBABCP四个顶点距离相等等的点）。注意到PC是Rt⊿PAC和Rt⊿PBC的公共的斜边，记它的中点为O，则OA=OB=OP=OC=PC=1，即该三棱锥的外接球球心为O，半径为1，故它的体积为：

2、ABCDPOO1方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径。[举例2]正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为。解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R-4，或OO1=4-R（此时O在PO1的延长线上），在Rt⊿AO1O中，R2=8+(R-4)2得R=3，∴球的表面积S=36[巩固1]如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是。[巩固2

3、]一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）（07高考陕西理6）（A）(B)(C)(D)[迁移]点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是。8．球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为a；边长为a的正四面体的内切球的半径为（正四面体高的），外接球的半径为[举例]已知棱长为a的正四面体ABCD有

4、内切球O，经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为，则O到平面的距离为。解析：记棱锥A-BCD的高为AO1，O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面交于M，则【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=1．[巩固1]P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，=∴=10，故选B；[巩固2]①④；2、[巩固]450；3、[巩固1]1：2；[巩固2]B；4、[巩固]；5、[巩固]3：16；6、[巩固1]，[巩固2]C，[迁移]设三条弦长分别为x,2x,y,则：x2

5、+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为；7、[巩固]B；8、[巩固]C四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其

6、长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。解：且，，，,因为所以知所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所

7、以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。二、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，，，，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得设球心坐标为则,由空间两点间距离公式知解得所以半径为【精品文档】第5页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除【结论】：空间两点间距离公式：二、四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。5．(2012·唐山模拟)一个几何体的三

8、视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A.B.C．4D．2π[解析]根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D－ABC，其中平面ADC⊥平面ABC，△ADC为等边三角形．取AC的中点为E，连接DE、BE，则有D