广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a,+∞）上的广义积分收敛的充分必要条件是：,存在

2、A>0,使得b,>A时，恒有证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分(为瑕点),我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是:,,只要0<，就有定义9.5如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+上绝对可积];如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+上条件可积．由于，均有因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分绝对收敛，则广义积分必

3、收敛．【精品文档】第13页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有（k为正常数）则当收敛时,也收敛;当发散时,也发散．证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在

4、一个正常数k,使[a,b),则1）如收敛，则也收敛。2）如发散，则也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+上的非负函数,且则(1)如果,且收敛,则积分也收敛．(2)如果,且发散，则积分也发散．【精品文档】第13页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除证明：如果则对于,存在A,当时,即成立.显然与同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f(x),g(x)是非负函数，且则

5、（1）当,且收敛时，则也收敛．（2）当，且发散时，则也发散．对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若0f(x)，p>1,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散．其极限形式为定理9.9如(,p>1),则积分收敛．如,而,1,则发散.【精品文档】第13页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除例9.8判断下列广义积分的收敛性。(1)(2)(m>0,n>0)解：（1）因为0由收敛推出收敛．（2）因为所以当n－

6、m>1时，积分收敛.当n－m1时，积分发散．对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法．定理9.10设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1）如0f(x)(c>0),p<1,则收敛．（2）如f(x)(c>0),p1,则发散．瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11设如0k<,p<1,则收敛如00)解：（1）1

7、是被积函数的唯一瑕点因为=由知瑕积分收敛．（2）0与都是被积函数的瑕点．先讨论由知:当p<1时,瑕积分收敛;当p1时,瑕积分发散．再讨论因所以当q<1时,瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散．综上所述，当p<1且q<1时,瑕积分收敛;其他情况发散．【精品文档】第13页精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除例9.10求证:若瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，则xf(x)=0.证明：不妨设,f(x)0,且f(x)在(0,1)上单调减少。已知收敛，由柯西收敛准则，有,(<1),有从而0<或0

8、)即xf(x)=0.例9.11求证瑕积分(>0),当<时收敛当时发散.证明:∵=所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]使【精品文档】第13页精品文