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《复变函数与积分变换公式汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z=X+iy,X，y是实数，X=Re（z），y=Im（z）i2=-i注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示2）幅角：在z¥0时，矢量与X轴正向的夹角，记为Arg（z）（多值函数）；主彳targ（z）是位于（―丁江］中的幅角。3)yarg（z）与'之间的关系如下:y八argz=arctan一当x〉0,ax；yy_0,argz=arctan—Xx:0,yy::0,argz=arctan—X一冗4)三角表示：z=z（cos6+isinO）,其中8=argz；注：中间一定是
2、“+”号。5)指数表示：z=忆6°,其中8=argz。最新范本，供参考!最新范本，供参考!（二）复数的运算1.加减法：若4=>1+乂2=>2“2,则乙士z2=（Xl±X2巾（yi士y2）2.乘除法:1)若zi=Xi+iyi,z2=X2+iy2,则Z1Z2=X1X2-iV2iX2%为丫2Zi为+iy_(Xi+iyXx一z2X2>2iy-Xi2y2>2yy氏yx222x2yo2）若i0zi=4ez2=z2eziz2=,z2ezi二z2ZiZ2最新范本，供参考!最新范本，供参考!3.乘哥与方根=z(cos日+isin日)zei0ze,则nn
3、/z=z(cosn。+isinn9)=z“ein，o=z(cos9+isin日)zei9ze,则最新范本，供参考!6+2kn8+2kn)cos+isin对数函数:Lnz=lnz+i(argz+2ks(k=0,±1,12)(多值函数)；主值：1nz=lnz+iargz。（单值函数）lnzLnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Z；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）bbLnabbLnz3)乘哥与哥函数：a=e(a#0)；z=e(z#0)b_卜b」注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（z）=z4）三角函
4、数:iz_iziz_ize-eeesinz=,cosz二2i,sinz,cosz,tgz,ctgz二coszsinzsinz,c0sz在z平面内解析，且（sinz）=cosz,cosz=-sinz注：有界性sinz<1,cosz<1不再成立；（与实函数不同）(k=0,1,2n-1)(有n个相异的值)（三）复变函数1,复变函数：w=f（z）,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2.复初等函数zxzz1）指数函数：一（yisiny）,在z平面处处可导，处处解析；且（e）=e注：ez是以2g为周期的周期函数。（
5、注意与实函数不同）z-zz-z,e-e.eeshz=,chz==shzo双曲函数22；shz奇函数，chz是偶函数。shz，chz在z平面内解析，且（shz）=chz,（chz）（四）解析函数的概念1.复变函数的导数fz0fz01）点可导：f（z0）=鸡Az；2）区域可导：f（z）在区域内点点可导。2.解析函数的概念1）点解析：f（z）在z0及其z0的邻域内可导，称f（z）在z0点解析;最新范本，供参考！2）区域解析：f（z）在区域内每一点解析，称f（z）在区域内解析；3）若f⑵在z0点不解析，称z0为f（Z）的奇点；2.解析函数的运算法
6、则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1,函数可导的充要条件：f（Z）=u（x,y）+lv（x,y）在z=x+iy可导Fu_AFy；x；u_Fv«u（x，y加v（x，y比（x，y）可微，且在（X，y）处满足C—D条件：此时,2,函数解析的充要条件：f（Z）=u（x,y）+lv（x,y）在区域内解析.：u2V.:uvuu（x,yMv（x,y%（x,yLD内可微，且满足C-D条件：伙勾，方y改；u.二VfZ=一i一此时exex。注意：若u（x,y）v（x,y）
7、在区域D具有一阶连续偏导数，则u（x,y）v（x,y）在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f（z）=u+iv—定是可导或解析的。3.函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以f（Z）=u（x,y）iV（x,y）形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f（z）是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质nfzdzqim）fk4cn一复变函数积分的概念：k二，c是光滑曲线。注：
8、复变函数的积分实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质fzdz=-1fzdzjc、cc（c与c的方向相反）；［二fzgz1dz==fzdz：gzd乙:,日ccc是常数；最新范本，供参考！fz
