三次函数图像性质和实根分布问题初探

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1、三次函数的图像性质和实根的分布问题一、三次函数的图像和基本性质设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c，导函数判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ>0时记f'(x)=0的两根为x1和x2，且x10时b2≤3acb2>3acf(x1)>0且f(x2)<0f(x1)f(x2)>0函数单调递增，y0x没有极值点y0x函数有两个极值点，有三个零点x0y函数有两个极值点，一个零点y0x函数有两个极值点，一个零点当a<0时b2≤3acb2>3acf(x1)<0且f(x2)>

2、0f(x1)f(x2)>0函数单调递减，x0y没有极值点x0y函数有两个极值点，有三个零点x0y函数有两个极值点，一个零点函数有两个极值点，一个零点x0y由上表可以推导出其他主要性质：1、对称中心为点2、在R上依次有三个单调区间的充要条件是b2-3ac>0.3、若b2-3ac≤0,则ax3+bx2+cx+d=0方程有且仅有一个实根4、三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个互不相同实根的充要条件是:

3、b3-9abc+27a2d

4、<2(b2-3ac)+b3二、三次函数根的分布例说例1、若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，

5、在区间（m，n)有三个不等实数根求各项系数满足的充要条件。设y=f(x)的导数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ>0时记f'(x)=0的两根为x1和x2，且x10时记f'(x)=0的两根为x1和x2，且x1

6、x3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2、已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．