黑体普朗克公式推导

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1、黑体普朗克公式推导1�空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V内�只能存在一系列独立的具有特定波矢k的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式�以k为标志。设空腔为立方体�如下图z�zy�y�xx图1立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是���x�m�2�����y�n(1)�2����z�q�2式中m、n、q为正整数。2�将k�代入(1)式中�有x�xm�kx��x则在x方向上�相邻两个光波矢量的间隔为�m�(m�1)���kx����x�x�x同理�相邻两光波矢在三个方

2、向的间隔为�1����kx��x�����ky�(2)��y����kz���z因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为33���kx�ky�kz��(3)�x�y�zVkzkkykx图2波矢空间在波矢空间中�处于k和dk之间的波矢k对应的点都在以原点为圆心、k为半径、dk为厚度的薄球壳内�这个球壳的体积为43432�k���k�dk��4�kdk(4)33式中k�k、dk�dk。根据(1)式的驻波条件�k的三个分量只能取正值�因此dk和dk之间的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳

3、的第一卦限�所以224�kdk�kdkVk��(5)82由(3)式已知每个光波矢的体积元�则在该体积内的光波模式数为2VkkdkM�2�V(6)32�/V�2式中乘以2是因为每个光波矢量k都有两个可能的偏振方向�因此光波模式数是光波矢量数的2倍。2�2�由于k��dk�d��上式可以用波长形式表示�即在体积为V的空腔内�波2��长��d�间隔的光波模式数为�8�VM�d�(7)4�2�黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长�的函数。可用单色能量密度��来描述�其定义-4为�在单位体积内�波长�附

4、近的单位波长间隔中的电磁辐射能量�量纲为J•m。根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律�在温度T的热平衡情况下�黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为ch�E�(8)hc/K�Te�1因此单色能量密度为M8�hc1��E�(9)�5hc/K�TVd��e�1即如在空腔上有一单位面积的开口�则在单位时间�半球空间辐射到此单位面积的能量c附录1为��。4按照(9)式�从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为2c2�hc1P���(10)�5hc/K�T4�e�1这就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。附

5、录1对于作用在如图1的空腔表面的驻波�设垂直于面积A�且立体角为d�的方向上�光通量�单位时间通过的波的能量�为I和-I�如图3。3d�PI-IA图3设光速为c�光运动单位距离的时间为1/c�则在立体角内的光能密度�单位体积的光能量�P为IP�2(1)cA在谐振腔内�光辐射强度是各向同性的�因此对与面积A法线夹角为�的入射光�光通量仍为I�而该方向的通量为Acos�I��I�Icos�(2)A因此在整个2�半球空间�一个小面积上通过的光通量如图4rsin�d�d�rd�d��d��图4作用在一个小面积

6、上的所有方向的光辐射则在面积A上的总光通量为42��/2M���Icos�sin�d�d�00�I�将(1)代入有cAM�I��P�(3)2因为腔内各方向的辐射是均匀分布的�所以任意方向立体角d�的能量密度P与腔内的总能量密度�的关系为�P�(4)2�代入(3)得Mc��(5)A4c即如在空腔上有一开口�则在单位时间�单位面积辐射到半球空间的能量为�。45