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1、及新资料推荐用波利亚的解题方法解题在△ABC中，ZAN&NC所对的边分别是aec,且。=10,22=2=2，〃为cosBa4△ABC内切圆上的动点.求点〃到顶点A,8.C的距离的平方和的最小值与最大值。【分析工第一步：理解题意。本题的条件是(i)c=10,(ii)出a=2=±(iii)P是“13。内切圆上的动点,cosBa4所求的结论是要求出P点到A,B,C三顶点的距离的平方和的最值。由此可得，这是一道关于图形的最值问题。第二步：拟订计划.设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题：第一，已知三角
2、形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。于是原问题可分列为两个较为简单的问题：①a,b,c为aABC的三边，且c=10,试确定△ABC的形cosBa4状及其大小。②确定的aABC的内切圆上有一动点P,试求PA'PB'PC'的最小值与最大值。对①小题，△ABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来.对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引
3、入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。第三步：实现计划：由0=2,用正弦定理做代换，得0=祗，cosBacosBsinA即sinA-cosA=sin3・cosB或sin28=sin2A，因为0=上知4/3,且AB是三角形内角，cosB3所以24=乃一28.即8+/1=2，2所以△ABC是直角三角形.再由c=10,)=)及苏+b?=/,可解得a=6,b=8.a4图11/21/21/2以新资料推存如图1,建立直角坐标系，使直角^ABC的
4、三个顶点为A(8,0),B(0,6),C(0,0).在直角△ABC中，有a+6=c+2r,r=2,所以，内切圆的圆心为O'(2,2),方程为(x-2)2+()，-2尸=4.设圆上的任一点为P(x,y),则有s=pa2+P52+pc2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)2-4x+76=3x4—4x+76=88-4x因P是内切圆上的点，故。WzW4,于是当z=4时，有最小值72,当x=o时，有最大值88o第四步：回顾讨论.对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：乂二0时,，P点
5、运动到BC上的M,此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点此时得所求平方和最小值为72.此外，能否用别的方法来导出结果呢?对笫①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略).本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验.(1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升.这说明，对于同样的素材(题
6、设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显著区别的.(2)从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生.(3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.2/22/22/2
