二重积分的应用

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1、百度文库•让每个人平等地提升自我§9.3二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分，使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量〃对于闭区域0具有可加性（即：当闭区域。分成许多小闭区域4b时，所求量U相应地分成许多部分量AU,且U=ZAU）。2、在。内任取一个直径充分小的小闭区域4b时，相应的部分量bU可近似地表示为其中（x,y）£，/b,称/（x，）'）4b为所求量的元素，并记作dU。（注：的选择标准为：△“一/（x,y）db是4b直径趋于零时较更高阶的无穷小量）3、所求量0可表示成积分形式D一、曲面的面积设曲面S由方程Z=于",给出，Dxy为曲面S在X。）'面上的投

2、影区域,函数/（%＞）在0个上具有连续偏导数工式乂＞）和4。'）'），现计算曲面的面积A。在闭区域。“上任取一直径很小的闭区域db（它的面积也记作〃b）,在9百度文库•让每个人平等地提升自我内取一点P（x，）'），对应着曲面S上一点M（x,y,f（x,y）），曲面S在点M处的切平面设为了。以小区域db的边界为准线作母线平行于Z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面，由于do的直径很小，那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面S在点M处的法线向量（指向朝上的那个）为五二｛—£（］，它与Z轴正向所成夹角/的方向余弦为cosy=j”+A(x,y)+

3、/；(“，)dA上而cos/附、］dA=《l+乃(x,y)+y)・dv明以v这就是曲面s的面积元素，故a=JJJi+£1%y)+fl%01y9百度文库•让每个人平等地提升自我222272［例1】求球面x+y+z=a含在柱面x+y=ax（Q〉o）内部的面积。22解:所求曲面在必y面的投影区域%'二｛（x'y）"+）‘“书曲面方程应取为~x~y,则曲面在X。）,面上的投影区域°。为9百度文库•让每个人平等地提升自我2ncostf2d0f・rdr=2aj(a—asin)d3a^ed0二4u(£/—asill0)(,100=2a2(/r-2)若曲面的方程为x=g（、z）或y=〃（z,x

4、）,可分别将曲面投影到yoz面或ZQX面,设所得到的投影区域分别为°户或%，类似地有2F9百度文库•让每个人平等地提升自我9百度文库•让每个人平等地提升自我平面薄片的重心9百度文库•让每个人平等地提升自我1、平面上的质点系的重心设其少面上有应个质点，分别位于点（尤1/1）,（%2）2）3…9（马？为）处，质量分别为梏，叱，一•，叫，由力学知道，质点系对无轴，y轴的力矩分别为y.(%")nnMA=X码M,My=Z叫去i=l?=1«总质量为加=工博2=1其质点系的重心坐标为M£町否M&n-=2_>1=izly二"二MmmE的Zei=l,i=l2、平面薄片的重心设有一平面薄片•，占有面

5、上的闭区域D,在点（X，）'）处的面密度为夕（羽y）,假定夕（羽）‘）在d上连续,如何确定该薄片的重心坐标（X，）'）。y在闭区域刀上任取一直径很小的闭区域Q（这个小闭区域的面积也记作而），是这个小闭区域内的一点，由于加的直径很小,且夕（巷y）在。上连续,所以薄片中相应于击的部分的质量近似等于夕（羽y）（E这部分质量可近似地看作集中在点（工9）处，于是，小区域对工轴、y轴的力矩为dMr=yp{x,y）d（7,dMv=y）d

6、)')db--lViy_D~_Mx_D人—-,y--m\p{x,y}d(y"mJJp(x,y)dbDD特别地,如果薄片是均匀的，即面密度为常量,则9百度文库•让每个人平等地提升自我x=—\xd(y,y^—^yda(A-\d(j为闭区域0的面积)AoAOD十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定，因此，习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例2】设薄片所占的闭区域。为介于两个圆r=acos6,r=/?cose(0vav切之间的闭区域,且面密度均匀，求此均匀薄片的重心(形心)o7T2〃cose-A=JJdb=Jd0jrdr=—(b~-a2)Daco

7、s04F2"bcosSMv=Jjxd(y=cosdUrD£ocos。而9百度文库•让每个人平等地提升自我a')cos"ed6=断一叫。『八（bj）¥7t2o-Mb~+ba--a~X=——-=故A23+a)三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有〃个质点，它们分别位于点（为，）'2），…，（巧?，为）处，质量分别为仍，％…，啊。设质点系对于X轴以及对于轴的转动惯量依次为〃，n?i=i=2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片，占有X。）'面上的闭区域