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1、d3高考数学中的内切球和外接球问2一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为.43.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为123,则此球的表面积为.14.例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.C.A.16B.20C.24D.3
2、23,求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为X,高为h,则有11X,21一、…、…一一一h5^「.二正六棱柱的底面圆的半,2,球心到底面的径’6x3,距离.，外接球的半"93%x?h84径'4v球,3二、构造法（补形法）1、构造正方体例5（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是.9解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，，
3、把这个三棱锥可以补成9一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球4.谩翼外接球外接球的半径为R,则有2R23339R2的表面积S4R29小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长222就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2Ra2b2c2.由现“墙角”结构禾f]用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长
4、方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为例6.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上，则此球的表DA=AB=BC=3,则球O的体积等于AB=AD=AE=BD=DEBE2,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线A.例7.在等腰面积为（）A.3B.4C.33D.6解析：一般解法，需设由球心，作由高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体ABDE满足条件,即为3,从而
5、外接球的直径也为3,所以此球的表面积便可求得，故选模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC,ABBC,联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解由CD=3.故球O的体积等9于2.2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD,BCDC,若AB6,AC=2将ADE与BEC梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=600,E为AB的中点,13,AD=8,则球的体积是分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则
6、三棱解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球锥P-DCE的外接球的体积为（心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求由BOC即43A.27B.2C.8D.24解析：因为AE=EB=DC=1DAB=CBE=DEA=600,所以ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.例8.已知球。的面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,可，在RtABC中，求生BC=4,所以BOC=600,故B、C两点间的球面距4离是3
7、.三.多面体几何性质法例10.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.322解设正四棱柱的底面边长为x,外接球的半径为R,则有4x216,解得x2解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半.而利用长方体径A.12B.9C.6D.324R24.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解解设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分，可知OAOBOCOD.，点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等,四.寻求轴截面
8、圆半径法例11.正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点ROA5即点O为四面体的外接球的球心，，外接球的半径2.故S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为解设正四棱锥的底面中心为O1,外接球的球心为O，如图1所示.，由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD4R312536.
