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1、3-44.4函数的最大值和最小值1n最值与极值的区别n最大最小值的求法3-43.4函数的最大值和最小值2若函数f(x)在[a,b]上连续，xÎ[a,b],如果对0任意xÎ[a.b],有f(x)³f(x)(或f(x)£f(x)),00则称f(x)为函数f(x)在[a,b]上的最大(小)值.0yyyoabxoabxoabx3-43最值与极值的区别设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上.(1)最大(小)值是对整个区间而言的，而极大（小）值是对极值点的某个邻域而言的,是局部性的.所以说，最值是函数的整体性质，而极值是函数的局部性质.(2)最
2、大（最小）值可以在区间的端点取得，而极值只能在开区间内取得.3-44本节中关于连续函数的假设由连续函数在闭区间上的性质，连续函数在闭区间上一定能取得最大最小值.为了简化讨论，在本节中我们假设所讨论的函数在闭区间内只有有限个驻点和导数不存在的点，因此极值点只能有有限多个.3-45函数在哪些点处可能取最值？由前面的讨论，若函数在区间内部取得最值，则此最值点必为极值点，故它为驻点或导数不存在的点.因此最值只能在区间端点或驻点或导数不存在的点处取得.由于我们假设了函数只有有限个驻点和极限不存在的点，因此我们只需要从有限个函数值（函数在端点，驻
3、点或导数不存在的点处的函数值）中找出最大最小值.3-4求最大最小值的步骤61.求函数的驻点和不可导点.2.求函数在区间端点、驻点和不可导点处的函数值,比较大小,最大者即为最大值,最小者即为最小值.注:如果连续函数在区间内部只有一个极大（小）值,而没有极小（大）值，则这个极大（小）值就是最大（小）值.（请考虑:为什么?)3-4例1732求函数y=2x+3x-12x+14的在[-3,4]上的最大值与最小值.解Qf¢(x)=6(x+2)(x-1)解方程f¢(x)=0,得x1=-2,x2=1.可能取最大最小值的点：x=-3,-2,1,4.计算
4、f(-3)=23;f(-2)=34;f(1)=7;f(4)=142;比较得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7.3-4例1中函数之图像832y=2x+3x-12x+14最大值f(4)=142，最小值f(1)=7.3-49实际问题求最值(1)建立所论问题中变量的函数关系式（目标函数）;(2)求最值;注：若目标函数只有唯一驻点，又根据问题的实际意义最大(小)值存在,则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值3-4例2102由直线y=08，x==及抛物线围yx2成一个曲边三角形，在曲边yx=上求一点，使曲线在该点处的切线与直线及yx==
5、08所围成的三角形面积最大．yTBPoACx例2之解答3-4（p1）11解如图,y设所求切点为P(x,y),T00B则切线PT为Py-y0=2x0(x-x0),oACx21Qy=x,,0),200A(x0C(8,0),B(8,16x0-x0)2112S=(8-x)(16x-x)(0£x£8)DABC000022目标函数例2之解答3-4（p2）1212令S¢=(3x-64x+16´16)=0,00416解得x0=,x0=16(舍去).316164096Qs¢¢()=-8<0.s()=为极大值.33217164096故s()=为所有
6、三角形中面积的最大者.3273-4例313某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？3-4例3之解答14解：设房租为每月元x，æx-180ö租出去的房子有50-ç÷套，è10ø每月总收入为æx-180öR(x)=(x-20)ç50-÷è10øR¢(x)=0Þx=350故每月每套租金为350元时收入最高。æ350ö最大收入为R(x)=(350-20)ç68-÷è10ø=10890(元)
7、3-4练习题15一、填空题：1、最值可_____________处取得.322、函数y=2x-3x(-1£x£4)的最大值为_________；最小值为__________.23、函数y=100-x在[0,8]上的最大值为____________；最小值为___________.4、设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数m=0.25，问力f与水平线的交角a为_____时，才可使力f的大小为最小，则此问题的目标函数为______________，讨论区间为_____________.3-4165、从一块半
8、径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为_________时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为________________考察区间为_______________.254二、求函数y
