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《应重视发挥一题多解在数学教学中的作用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、S2(1)3S2(2)5S2(3)7由=,=,=,⋯⋯,S(1)3S(2)3S(3)3应重视发挥一题多解111由此猜想:SnS21()/(nn)=+(21)/3,即在数学教学中的作用2n+11S(n)=×=++S(n)n(nn1)(21).①2136福建省宁德市民族中学张绍英以下用数学归纳法证明①式(略).学生看到上述解法正是出自数学名人之众所周知,一题多解是开拓思路,发展智手,且解法朴实、易学,顿时兴趣倍增,并从中体会到不完全归纳法的精神实质.力,提高能力的有效途径.多年来,一题多解一332解法二由(n+-1)n
2、nn=3++31,可直活跃在我们的数学课堂教学之中.但是,一332题多解在数学教学中有那些作用?如何有效得:21-=3´1+´+311,332地、灵活地将一题多解应用于我们的数学课32-=3´2+´+321,堂教学之中,进而充分体现新课改中所关注⋯⋯332的“过程与方法”、“知识与技能”以及“情(n+-1)nnn=3++31.感态度与价值观”的三维目标呢?下面将围绕将上述n个式子同向相加,并稍加整理即着这一问题谈谈个人的看法及体会.可得到Sn2()的表达式.1用一题多解揭示数学的内在美,以此激发学这种解法又让学生体
3、会到了数列中“裂生学习数学的兴趣项相加法”的威力,并能在以后的学习中自觉兴趣的培养和激发往往建立在对事物认加以应用.识或对未知世界探索的渴望心理上.在一题在学完排列组合内容之后,还可以介绍33222多解教学过程中,常常让人“看到”数学各部利用组合恒等式:Ckk+2-=Ck或CCkk+1+=2分知识之间的内在联系;让人找到问题的结k求Sn2()的方法.这样,既培养了学生的解果或解决方案;让人得到意想不到的结果或题能力,又激发了学生的数学学习兴趣.其实,解法;让人一时理不出头绪而产生继续探求对于Sn2()的推导,还有许
4、多有趣的方法,有兴的渴望;让人感受到新颖性、变化性等等.这些趣的读者可以参阅文献[1].都能产生数学的美感和惊奇感,诱使学生企2用一题多题揭示解某类问题的基本思路与图得到进一步的结果,唤起他们对问题的追方法求.因此,一题多解必然在激发学生数学学习在教学中,为了揭示解某类问题的基本兴趣,调动学习积极性方面起到重要作用.思路与方法,可采用一题多解的教学形式.比原人教版高中代数课本(必修)下册的封如,对于判定三角形的形状问题,其主要思路面上,给出了如下优美、和谐的数学关系:有三条:一是从边的角度考虑问题,把题设条2222
5、n(nn++1)(21)件均转化为边的关系式求解;二是从角的角123++++=Ln.6度考虑问题,把题设条件均转化为角的关系在数学归纳法一章恒等式证明的教学的式求解;三是对同时含有边与角的关系式综1合考虑求解.为了揭示上述三条基本思路,可一堂习题课中,我问道:S(n)=++n(nn1)(22选用下例进行教学.6sinAB+sin1)是如何想出来的?(为方便起见,以下令例1在△ABC中,sinC=,222cosAB+cosS(n)1=+2+LL+n,S(nn)=+++12)让12求证这个三角形是直角三角形(原人教版代
6、我们先来看看美国著名数学家G·波利亚在数甲种本第一册P.220).他所著的《数学与猜想》一书中的解法.解法一(从边、角综合考虑)由正弦定理解法一·2·abc思路二设Pxy(,)为所求的点,因为P点得sinA=,sinB=,sinC=,将它们2R2R2R到已知椭圆两焦点的距离之差的绝对值为4,代入已知式并整理得:所以由双曲线的定义可知点P在双曲线ccosA+ccosBab=+①yx22/4-=/121上,故得:又在△ABC中,易知a=+bcosCcBcos,22ìïyx/4-=/121,b=+acosCcAcos.将
7、这两个式子代入①式í22ïîyx/25+=/91.化简得bcosC+=aCcos0,即(a+=bC)cos0,解上述方程组即可得到P点的坐标.故cos0C=,从而C=°90,即△ABC是直角三角形.思路二与思路一相比,其运算量显然要小得多.但在思路二中仍然需要解一个比较解法二(从边考虑)同解法一得①式.由复杂的方程组,而且思路二还有一定的局限余弦定理得:222222性.比如,将例2中“到该椭圆两焦点的距离之bc+-aacb+-+=+ab,差的绝对值为4”改为“到该椭圆两焦点的22ba距离之积为16”,那么思路二就失
8、效了.此时2上式两边同乘以2ab并整理得(a+bc)(若采用思路一的方法,则仍需解一个与思路22222-ab-=)0,由此得cab=+,从而C=一的运算量相当的方程组,因而需要另辟途90°,即△ABC是直角三角形.径,寻求本题的最佳解法.解法三(从角考虑)由已知得:思路三设Pxy(,)为所求的点,F1、F2为下、上焦点.由“椭圆上一点到一焦点的距离A+-BA
