9-6--若当标准型ppt课件(全)

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1、为Jordan块。设为Jordan块，称准对角形矩阵矩阵的Jordan标准形定义：称阶矩阵为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为于是可以得到下面的定理定理：设的初等因子为则，这里其中我们称是矩阵的Jordan标准形。特别地，我们有定理：可以对角化的充分必要条件是的初等因子都是一次因式。例1求矩阵的Jordan标准形。解：先求出的初等因子。对运用初等变换可以得到所以的初等因子为故的标准形为或例2求矩阵的Jordan标准形。解：先求出的初等因子。对运用初等变换可以得到所以的初等因子为故的Jordan标准形为或求Jordan

2、标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法.具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值（2）其Jordan标准形的主对角线上都是的特征值，并且特征值在主对角线上出现的次数等于作为特征根的重数。对于每个特征值，求出以它为主对角元的各级Jordan块的数目，首先求出那么以为主对角元的Jordan块的总数是这里为该矩阵的阶数，而以为主对角元的级Jordan块的数目是依次先求出直至满足条件为止。（3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出的一个Jordan标准形。例1用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：先求出的特征多项式及其特征值。对于特征值，它是的1重根，从而在的Jo

3、rdan标准形的主对角线上出现一次，因此中主对角元为1的Jordan块只有一个且它为一阶的。对于特征值，先求所以从而特征值是的两重根，从而在的Jordan标准形的主对角线上出现两次，因此中主对角元为3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故的标准形为或例2用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为所以为的4重根，从而在的Jordan标准形的主对角线上出现四次，下面计算中主对角元为1的Jordan块的数目，先计算，容易得到那么中主对角元为的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为如何求相似变换矩阵？设阶方阵的Jordan标准形为,则存在可逆矩

4、阵使得，称为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求的方法。例1求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵：设所求矩阵为，则，对于按列分块记为于是有从而可得整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取，但是不能简单地取，这是因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1

5、，从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即容易看出只需令就会使得上述矩阵的秩为1，于是再由第三个方程解出一个特解为，那么所求相似变换矩阵为例2求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵：设所求矩阵为，则，对于按列分块记为于是有从而可得整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取，但是不能简单地取，这是因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩

6、，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即容易看只要就会使得上述增广矩阵的秩为1。令，于是再由第三个方程解出一个特解为，那么所求相似变换矩阵为从而有一般地，设，则存在阶可逆矩阵使得其中为Jordan块，记这里那么有记，又可得注意：是矩阵的对应于特征值的特征向量，特征向量的选取应该保证特征向量可以求出，同样特征向量的选取应该保证特征向量可以求出，依此类推，并且使得线性无关。Jordan标准形的某些应用例1对于方阵求。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵且，那么按照前面例题的方式，容易计算出从而例2求解常系数线

7、性微分方程组解：令那么此方程组可表示成由前面的例题可知存在使得作线性替换从而可得整理即得方程首先得到两个很显然的解然后再解第三个方程其解为这样得到即其中为任意常数。例3设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。证明：设的Jordan标准形为即有可逆矩阵使得由于，所以有从而即因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对