高等数学等价替换公式

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1、无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习

2、（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。下面我们用＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小，即。例如,【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。8定义：当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也

3、可能是无穷大，如，，所以当时为无穷小，当时为无穷大。2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小.证：（必要性）设令则有（充分性）设其中是当时的无穷小，则【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）3.无穷小的运算性质

4、定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.8如：，，推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，观察各极限：不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且例1证：例2解2．常用等价无穷小:（1）～；（2）～；（3）～；（4）～；（5）～；（6）～8（7）～（8）～（9）～用等价无穷小可给出函

5、数的近似表达式:例如3．等价无穷小替换定理：证：例3（1）；（2）解:（1）故原极限=8（2）原极限==例4错解:=0正解:故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5解:8原式三、极限的简单计算1.代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式，消去零因子法例如，。3.分子（分母）有理化法例如，又如，4.化无穷大为

6、无穷小法例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出8又如，，（分子分母同除）。再如，，（分子分母同除）。5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，，（无穷小量乘以有界量）。又如，解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限例如，解:左右极限存在且相等,【启发与讨论】思考题1：8解：无界，不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若，且，问：能

7、否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）；解：原极限=（2）求8【分析】“”型，拆项。解：原极限===（3）；【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限==，或原极限（4）；【分析】分子有理化解：原极限===（5）【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：===（6）【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。解：原极限==6（7）解:先变形再求极限.

8、8【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆