应用高等数学等价替换公式.doc

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1、应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设（1）若，f（x）是g（x）的高阶无穷小（2）若，f（x）是g（x）的低阶无穷小（3）若，f（x）是g（x）的同阶无穷小（4）若，f（x）是g（x）的等价无穷小（5）若，f（x）是g（x）的k阶无穷小2、等价替换：若x→x0，f（x）~f1（x），g（x）~g1（x）则6、常用等价形式：当f（x）→0时（1）sinf（x）~f（x）（2）arcsinf（x）~f（x）（3）tanf（x）~f（x）（4）arctanf（x）~f（x）（5）In（1+f（x））~f（x）（6）ef（x）-1~f（x）（7）1-cosf（x

2、）~（8）（1+f（x））α-1~αf（x）二、函数的连续：1、间断点：（1）第一类间断点：f-（x0）、f+（x0）均存在的间断点⑴跳跃间断点：f-（x0）≠f+（x0）⑵可去间断点：f-（x0）=f+（x0）（2）第二类间断点：f-（x0）、f+（x0）至少有一个不存在的间断点⑴无穷间断点：f-（x0）、f+（x0）中至少有一个为∞⑵振荡间断点：f-（x0）、f+（x0）中至少有一个振荡不存在三、导数：1、定义：=2、导数的常见形式：（1）（2）（3）3、切线方程：若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）），则y-y0=（x-x0）注：（1）如果=∞，

3、则x=x0（2）如果=0，则y=y04、法线方程：若直线过点P（x0，f（x0）），则y-y0=（x-x0）5、基本公式：（1）0（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）6、四则运算：都有导数（1）（2）（3）（4）推论：（1）（2）（3）7、反函数求导法则：设y=f（x）与x=（y）（（y）≠0）则或=8、n次导的常见公式：（1）=（2）（3）=9、参数方程求导：设函数都可导，其中x=≠0，则函数的导数10、复合函数求导：若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数y=f[

4、（x）]的导数11、隐函数求导：（1）方程F（x，y）=0两边求导，解出（2）公式法：由F（x，y）=0，则（3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出注：y是x的函数12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y（x）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x）v（x））13、高阶导数：（1）二阶导数：（2）三阶导数：（4）n阶导数：14、中值定理：（1）拉格朗日定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得推论1：如

5、果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数都等于零，你们函数f（x）在（a，b）内是一个常数推论2：如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：f（x）=g（x）+C，x（a，b）（2）罗尔定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得0（3）柯西定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得=15、洛必达法则：（1）型：设函数f（x

6、）、g（x）满足：⑴0⑵在点x0的某去心邻域内都存在，且0⑶存在或为无穷有：=（2）型：设函数f（x）、g（x）满足：⑴⑵在点x0=的某去心邻域内都存在，且0⑶存在或为无穷有：=（3）其他未定型：⑴0·∞型：f（x）·g（x）转化成，一般将In、arc留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为型或型⑶型：f（x）g（x）=eg（x）Inf（x）=16、函数单调性判定：设函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导（1）如果函数y=f（x）在（a，b）内，，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递增；（2）如果函数y=f（x）在（a

7、，b）内，，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递减；17、函数的极值：（1）如果函数y=f（x）在点x0及其左右近旁有定义，且对于x0近旁的任何一点x（x≠x0）的函数值f（x）均有：⑴f（x）f（x0）,则f（x0）称为函数y=f（x）的极小值，点x0称为函数y=f（x）的极小值点（2）驻点：0的点（3）极值第一充分条件：设点x0是f（x）可能的极值点（或不存在）⑴当；,则x0为极大值点⑵当；,则x0为极小值点⑶当，同号，则x0不是极值点（4）极值的第

8、二充分条件：设y=f（x）在点x0处有一、二阶导数，